 | 確かにそうすると手作業で求められるレベルになりますね。
気付きませんでした。
長方形の頂点のうちOA上にある頂点をx座標の大きい順にR,S、
その他の頂点をx座標の小さい順にP,Qとし、
直線PQとy=x^3のもう一つの交点をT(t,t^3)とおく。
するとP,Qの範囲の条件から-2√3/3＜t＜-1となる。
Tを通る傾き1の直線はy=x+t^3-t
y=x^3とy=x+t^3-tからP,Qのx座標を求めると
x={-t±√(4-3t^2)}/2
PSの長さはPのx座標とy座標の差の1/√2倍であり、
x座標とy座標の差はx-y=x-x^3=t-t^3なので、PS=(t-t^3)/√2
PQの長さはPとQのx座標の差の√2倍なのでPQ=√(4-3t^2)・√2
よって長方形の面積は(t-t^3)√(4-3t^2) … (1)
(面積)^2=f(t)=(t-t^3)^2・(4-3t^2)=-3t^8+10t^6-11t^4+4t^2とおくと
f'(t)=-24t^7+60t^5-44t^3+8t=-4t(t-1)(t+1)(6t^4-9t^2+2)
-2√3/3＜t＜-1なので6t^4-9t^2+2=0からt=-√(27+3√33)/6
これを(1)に代入すると、最大の面積は√(138-22√33)/24
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