 | フェルマー最終定理がまだ証明されていないとする。
x、y、z をゼロでない整数とするとき、もし
x^3 + y^3 = z^3
が成立するならば、x、y、z の少なくとも 1 つは 3 の倍数であることを証明する。
x、y、z すべてが 3 の倍数でないと仮定する。3 の倍数でない整数は適当な整数 k で 3k + 1、3k + 2 と表すことができるから
(3k+1)^3 = 9(3k^3+k^2+k) + 1
(3k+2)^3 = 9(3k^3+6k^2+4k) + 8
したがって(x^3+y^3)/9 の余りは
1 + 1 = 2 より 2
1 + 8 = 9 より 0
8 + 8 = 16 より 7
のどれかであるのに対し、z^3/9 の余りは 1 か 8 なので、x、y、z すべてが 3 の倍数でないという仮定に矛盾する。
よって x、y、z の少なくとも 1 つは 3 の倍数である。
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