数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 対偶について / Page: 0]

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■49958 / inTopicNo.1)

　対偶について

□投稿者/ あすなろ一般人(1回)-(2019/08/22(Thu) 21:40:54)

　某掲示板に投稿されていた問題です。そこで一応解決されているのですが、対偶についてよくわからないことがあるので教えてください。

(2)は
　ある二次元正方行列 X、Y に対し

　　XA≠[O]∧AY≠[O]∧XAY = [O] ⇒ ad - bc≠0 ･････①

を証明せよということになると思うのですが、①の対偶は

　　ad - bc = 0 ⇒ XA=[O] ∨ AY=[O] ∨ XAY≠[O]･････②

となり、結論の3つの命題のうちどれか1つ成り立てば②は真になるので、①で
　　XA≠[O]∧AY≠[O]
と仮定されていることを考えれば結局

　　ad - bc = 0 ⇒ XAY≠[O]･････②’

を証明できればいいのでしょうか？

1000×472 => 250×118

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■49961 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 対偶について

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□投稿者/ らすかる一般人(6回)-(2019/08/22(Thu) 22:14:55)

> ①でXA≠[O]∧AY≠[O]と仮定されていることを考えれば

①では「XA≠[O]∧AY≠[O]」は仮定されていません。

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■49962 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 対偶について

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□投稿者/ あすなろ一般人(2回)-(2019/08/22(Thu) 22:22:00)

　回答まことにありがとうございます。

　ある二次元正方行列 X、Y に対し
　　XA≠[O], AY≠[O], XAY = [O] が成立するとき・・・

　この文章は
　　XA≠[O]
　　AY≠[O]
　　XAY = [O]
という3つの命題が同時に成立することを意味しないのでしょうか？
「,」は「∧」にしか思えないですけど。

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■49964 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 対偶について

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□投稿者/ らすかる一般人(8回)-(2019/08/22(Thu) 22:39:04)

XA≠[O]とAY≠[O]が「仮定」で
XAY = [O]が「仮定」でない理由は何ですか？

もし「XA≠[O], AY≠[O]」を「前提条件」と考えたいのであれば、
最初の命題が
二次元正方行列X、YがあってXA≠[O]∧AY≠[O]を満たしている場合、
（ここまでを前提としたうえで）
XAY = [O] ⇒ ad - bc≠0 ･････①’
そしてこの対偶が
ad - bc = 0 ⇒ XAY≠[O]･････②’
です。

XA≠[O]∧AY≠[O]∧XAY = [O] ⇒ ad - bc≠0 ･････①
という命題を変えずに（XA≠[O]∧AY≠[O]の部分が
最初から仮定されているものと考えて）対偶っぽいものを考えるならば、
XA≠[O]∧AY≠[O]∧ad - bc = 0 ⇒ XAY≠[O]･････②’’
のようにする必要があります。

XA≠[O]∧AY≠[O]∧XAY = [O] ⇒ ad - bc≠0 ･････①
と
ad - bc = 0 ⇒ XAY≠[O]･････②’
は対応していません。

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■49967 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 対偶について

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□投稿者/ あすなろ一般人(3回)-(2019/08/22(Thu) 23:07:59)

> XA≠[O]とAY≠[O]が「仮定」で
> XAY = [O]が「仮定」でない理由は何ですか？

　ああ！　なるほど。ということは最初に戻って

　　ad - bc = 0 ⇒ XA=[O] ∨ AY=[O] ∨ XAY≠[O]･････②

は
　　ad - bc = 0 ⇒ XA=[O]･････ⅰ
　　ad - bc = 0 ⇒ XA=[O]･････ⅱ
　　ad - bc = 0 ⇒ XAY≠[O]･････ⅲ
のどれかが成り立てば真になる。
ⅲ)の場合
（以下 t[p　q] や t[α　β] は列ベクトルを表します）

　(1)の結果より p、q、r、s は 0 でない実数でいいので
　　XA = Xt[p　q][r　s] = t[α　β][r　s]≠[O]
　　AY = t[p　q][r　s]Y = t[p　q][γ　δ]≠[O]
となる実数α、β、γ、δが存在する。
　　t[α　β] = t[0　0] ⇒ XA = [O]
なのでαかβのどちらか一方は0ではない。
　　 [γ　δ] = [0　0] ⇒ AY = [O]
なのでγかδのどちらか一方は0ではない。

　したがって
　　XAY = Xt[p　q][r　s]Y = t[α　β][γ　δ]≠[O].
　よって②が証明された。
　こんな感じでいいのでしょうか？

　ⅰ、ⅱと(#1)を直接証明する方法はただいま格闘中ですが、ⅰとⅱはそもそも成り立つのでしょうか？

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■49968 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 対偶について

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□投稿者/ らすかる一般人(10回)-(2019/08/22(Thu) 23:21:20)

> (1)の結果より p、q、r、s は 0 でない実数でいいので

どこから「0でない」が出てくるのですか？

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■49969 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 対偶について

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□投稿者/ あすなろ一般人(4回)-(2019/08/22(Thu) 23:39:20)

　　det(t[p　q][r　s]) = 0
だから p、q、r、s は任意の実数でいいのかしらん？