 | 0＜x＜π,0＜y＜πに対して
{sin(x-y)}^2≧0 （-π＜x-y＜πなので等号成立条件はx=y）
(sinxcosy-cosxsiny)^2≧0
(sinxcosy)^2+(cosxsiny)^2-2sinxcosxsinycosy≧0
(sinxcosy)^2+(cosxsiny)^2+2sinxcosxsinycosy≧4sinxcosxsinycosy
(sinxcosy+cosxsiny)^2≧4sinxcosxsinycosy
∴{sin(x+y)}^2≧(sin2x)(sin2y)
(x,y)=(A/4,B/4)とすると {sin((A+B)/4)}^2≧sin(A/2)sin(B/2)
(x,y)=(B/4,C/4)とすると {sin((B+C)/4)}^2≧sin(B/2)sin(C/2)
(x,y)=(C/4,A/4)とすると {sin((C+A)/4)}^2≧sin(C/2)sin(A/2)
3式とも両辺正なので辺々掛けて
{sin((A+B)/4)sin((B+C)/4)sin((C+A)/4)}^2≧{sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)}^2
sinの値は全て正なので
sin((A+B)/4)sin((B+C)/4)sin((C+A)/4)≧sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
A+B+C=πなので
sin((π-A)/4)sin((π-B)/4)sin((π-C)/4)≧sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
なお、等号成立条件はA/4=B/4=C/4すなわち△ABCが正三角形の場合。
(証明終)
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