 | 2019/08/21(Wed) 23:50:51 編集(投稿者)
条件を満たす有理数が存在した場合、a[1]〜a[6],b[1]〜b[6]全ての分母の
最小公倍数をa[1]〜a[6],b[1]〜b[6]全てに掛けると
係数が全て整数になるので、条件を満たす「互いに素な整数」
a[1]〜a[6],b[1]〜b[6]が存在しないことを言えば十分。
よってそのように仮定する。
分母を払って
a[1]+a[2]2^(1/3)+a[3]4^(1/3)+a[4]ω+a[5]2^(1/3)ω+a[6]4^(1/3)ω
={b[1]+b[2]2^(1/3)+b[3]4^(1/3)+b[4]ω+b[5]2^(1/3)ω+b[6]4^(1/3)ω}√3
式が長いのでa[1]〜a[6]をa,b,c,d,e,f、b[1]〜b[6]をg,h,j,k,l,m、
2^(1/3)をtに置き換えると（すなわち4^(1/3)=t^2）、
a+bt+ct^2+ωd+ωet+ωft^2=(g+ht+jt^2+ωk+ωlt+ωmt^2)√3
ωが掛かっている項とそうでない項を分けて
a+bt+ct^2-(g+ht+jt^2)√3=ω{(k+lt+mt^2)√3-(d+et+ft^2)}
右辺だけωが掛かっているため(左辺)=(右辺)=0でなければならない。すなわち
a+bt+ct^2-(g+ht+jt^2)√3=0 … (1)
かつ
(k+lt+mt^2)√3-(d+et+ft^2)=0 … (2)
(1)から
a+bt+ct^2=(g+ht+jt^2)√3
t^3=2であることに注意して両辺を2乗すると
(a^2+4bc)+2(c^2+ab)t+(b^2+2ac)t^2=3{(g^2+4hj)+2(j^2+gh)t+(h^2+2gj)t^2}
tについて整理して
{a^2+4bc-3(g^2+4hj)}+2{c^2+ab-3(j^2+gh)}t+{b^2+2ac-3(h^2+2gj)}t^2=0
補題から
a^2+4bc-3(g^2+4hj)=0 … (3)
c^2+ab-3(j^2+gh)=0 … (4)
b^2+2ac-3(h^2+2gj)=0 … (5)
(3)をmod4で考えるとa,gは偶数でなければならない。
a,gが偶数なので、(5)をmod4で考えるとb,hも偶数でなければならない。
a,b,g,hが偶数なので、(4)をmod4で考えるとc,jも偶数でなければならない。
従ってa,b,c,g,h,jは全て偶数。
全く同様に、(2)からd,e,f,k,l,mも全て偶数となり、仮定と矛盾。
補題
p,q,rが有理数でp+qt+rt^2=0…(a)（t=2^(1/3)）のときp=q=r=0
補題の証明
pqr≠0と仮定して(a)をtの二次方程式とみてtについて解くと
t={-q±√(q^2-4pr)}/(2r)
となるが、左辺は三次の無理数、右辺は虚数または二次の無理数または有理数となり矛盾。
従ってpqr=0なので、(簡単なので途中省略)p=q=r=0。
|