 | f(n)=83-83・11^n+180・11^n・n-150・11^n・n^2+500・11^n・n^3
=83+11^n(500n^3-150n^2+180n-83)
f(n+1)-f(n)
=11^(n+1){500(n+1)^3-150(n+1)^2+180(n+1)-83}
-11^n(500n^3-150n^2+180n-83)
=11^n(500n^3+1350n^2+1380n+447)・11
-11^n(500n^3-150n^2+180n-83)
=11^n(5500n^3+14850n^2+15180n+4917)
-11^n(500n^3-150n^2+180n-83)
=11^n(5000n^3+15000n^2+15000n+5000)
=5000・11^n(n+1)^3
f(1)=5000なので、f(n)=5000{1+Σ[k=1〜n-1]11^n(n+1)^3}
となり、与式は任意の自然数nに対して5000で割り切れる。
上のように変形可能ですので、数学的帰納法による証明にも出来ますね。
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