 | 位相数学についての質問です。
現在位相数学を学んでいる大学3回生です。
授業内で次のような問題を出題されたのですが、回答の糸口もつかめません。
何かヒントでも大丈夫ですのでお知恵をお貸しいただけるとありがた
いです
問題:平面 R2, 実数直線 R1 には通常の距離からユークリッド位相を入れ る. X3 をユークリッド平面 R2 上の三角形の合同類全体とする. すなわち 三角形全体を考え, 合同なものは同じとみなした集合が X3 である. さらに X3 の要素である各三角形にその三角形の面積を対応させる関数を
Area : X3 → R とおく.
1. X3 はどのような集合か調べよ.
2. 離散位相を入れると Area は連続かどうか, 密着位相を入れると Area
は連続かどうか, をそれぞれ調べよ.
3. 離散位相, 密着位相とは異なる X3 の位相で, Area が連続となるもの
を一つ具体的にあげ, 実際に位相になっていること, Area が連続であ
ることを示せ.
4. 面積が 1 となる三角形の全体, すなわち Area による 1 の逆像
Area−1(1) ⊂ X3 に前問で入れた X3 の位相の相対位相を入れる. Area−1(1) はどのような空間になるか調べよ.
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