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x+2y+5z=3, ay+2z=2, 8y+bz=5
を順に①②③とします。
まず①はx,y,zをいずれも含み、②③はいずれもxのみを含んでいないことからまず②③の二式だけで
(i)解(y,z)が一組だけ存在
(ii)解(y,z)が無数に存在
(iii)解(y,z)が存在しない
の判定をすることができます。
そこでまず②③に対し、(i)となるような必要十分条件を求めます。
②よりz=1-ay/2
③に代入して(8-ab/2)y=5-b
従って②③の解(y,z)が無数にあるための必要十分条件は
8-ab/2=5-b=0
つまり(a,b)=(16/5,5) ④
次にこのとき①からxが無数に存在するかどうかを確かめます。
④のとき②③はいずれも
8y+5z=5 ⑤
∴z=1-8y/5 ⑥
これを①へ代入して
x+2y+5(1-8y/5)=3
∴x=6y-2 ⑦
⑥⑦よりこのときの①②③の解は無数に存在することがわかります。
したがって求める条件は(a,b)=(16/5,5)
解は(x,y,z)=(6t-2,t,1-8t/5)(t:任意の実数)
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