 | 2005/10/27(Thu) 11:11:21 編集(投稿者)
f[0](x)=e^x (A)
f[n](x)＝xf[n-1]'(x) (B)
P[n](x)=e^(-x)f[n](x) (C)
とします。
（１）
数学的帰納法を使います。
(i)n=0のとき
P[n](x)=e^(-x)f[0](x)
=1
ですから成立。
(ii)n=kのときP[n](x)はk次の多項式であることを仮定します。
このとき
P[k](x)=∑[l=0～k]c[k,l]x^l (D)
(但しc[k,l]は実数でc[k,k]≠0)
と置くことができます。
n=k+1のとき
(C)より
P[n](x)=e^(-x)f[k+1](x)
=e^(-x){xf[k]'(x)}((B)を使った) (E)
P[k](x)=e^(-x)f[k](x) (F)
(D)を(F)に代入して
f[k](x)=(e^x)∑[l=0～k]c[k,l]x^l
これを(E)に代入すると
P[n](x)=e^(-x)[x{(e^x)∑[l=0～k]c[k,l]x^l}']
=e^(-x)[x{(e^x)∑[l=0～k]c[k,l]x^l+(e^x)∑[l=1～k]c[k,l]lx^(l-1)}]
=x{∑[l=0～k]c[k,l]x^l+∑[l=1～k]c[k,l]lx^(l-1)}
=∑[l=0～k]c[k,l]x^(l+1)+∑[l=1～k]c[k,l]lx^l
=∑[l=1～k+1]c[k,l-1]x^l+∑[l=1～k]c[k,l]lx^l
(一つ目の∑についてl+1を改めてlに置き換えた)
=c[k,k]x^(k+1)+∑[l=1～k]{c[k,l-1]+lc[k,l]}x^l (G)
よってP[n](x)はk+1次の多項式ですからこのときも成立
(i)(ii)から数学的帰納法により問題の命題は成立します。
（２）
（１）の(G)より
P[k+1](x)=c[k,k]x^(k+1)+{c[k,k-1]+kc[k,k]}x^k+∑[l=1～k-1]{c[k,l-1]+lc[k,l]}x^l
(但しk≧2)
よってc[n,n],c[n,n-1](n≧2)に対し、次の漸化式が成立することが分かります。
c[n,n]=c[n-1,n-1] (H)
c[n,n-1]=c[n-1,n-2]+(n-1)c[n-1,n-1] (I)
(H)より
c[n,n]=c[1,1]
ですが(A)(B)(C)より
P[1](x)=x+1
∴c[1,1]=1
∴a[n]=c[n,n]=1 (H)'
これはn=0,1のときも成立。
又、(H)'を(I)に代入すると
c[n,n-1]=c[n-1,n-2]+(n-1) (I)
ここでc[n,n-1]=b[n]ですから
b[n]=b[n-1]+(n-1)(n≧2)
∴b[n]=b[1]+∑[k=1～n-1]k
=1+(1/2)n(n-1)
これはn=1のときも成立。
以上よりa[n]=1,b[n]=1+(1/2)n(n-1)
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