数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 漸化式の項を減らす / Page: 0]

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■49162 / inTopicNo.1)

　漸化式の項を減らす

□投稿者/ ばすたおる一般人(1回)-(2019/04/05(Fri) 14:03:29)

三項間漸化式で定まる数列a[n]
a[1]=x
a[2]=y
a[n+2]=pa[n+1]+qa[n] (n≧1)
を、無理やり二項間の漸化式
a[1]=x
a[n+1]=ra[n]+s√(ta[n]^2+ua[n]+v) (n≧1)
にするのはどうすればよいのでしょうか？

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■49164 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 漸化式の項を減らす

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□投稿者/ らすかる一般人(10回)-(2019/04/05(Fri) 15:42:33)

例えばx=1,y=0,p=q=1のとき
a[n]={1,0,1,1,2,3,…}
なので
a[n+1]=ra[n]+s√(ta[n]^2+ua[n]+v)により
n=1のとき 0=r+s√(t+u+v)
n=3のとき 1=r+s√(t+u+v)
これは矛盾なので
一般に(r,s,t,u,vがnに依存しない定数ならば)
a[n+1]=ra[n]+s√(ta[n]^2+ua[n]+v)
と変形することは出来ないと思います。

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■49171 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 漸化式の項を減らす

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□投稿者/ ばすたおる一般人(2回)-(2019/04/08(Mon) 02:42:12)

a[1]=1
a[2]=3
a[n+2]=4a[n+1]-a[n]
という数列が
a[1]
a[n+1]=2a[n]+√(3a[n]^2-2)
と表されるのは偶然なのでしょうか？

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■49173 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 漸化式の項を減らす

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□投稿者/ らすかる一般人(11回)-(2019/04/08(Mon) 05:44:02)

2019/04/08(Mon) 10:39:38 編集(投稿者)

上に反例がありますので、「偶然」その式で表せるような
他の条件がそろっている、ということになりますね。
a[n+1]=ra[n]+s√(ta[n]^2+ua[n]+v)という式では
ある項から次の項が唯一に決まりますので、
数列中に同じ値が2回以上出てきて続く値が異なる場合は
明らかにこの式では表せません。
ただし、数列中に同じ値が出現しない場合で、
さらに一定の条件のもとでは
r=p/2
s=1
t=p^2/4+q
u=-(q+1)(qx^2+pxy-y^2)/(x-y)
v=(qx+y)(qx^2+pxy-y^2)/(x-y)
としてa[n+1]=ra[n]+s√(ta[n]^2+ua[n]+v)
と表せるようですが、
どういう条件のときにOKかは調べていません。

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■49177 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 漸化式の項を減らす

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□投稿者/ らすかる一般人(12回)-(2019/04/08(Mon) 14:44:17)

上の式が成り立つ条件を少し調べました。
少なくとも
q=-1 または p+q=1 または qx^2+pxy-y^2=0
のいずれかを満たさないとうまくいかないようです。
しかしそれは必要条件であり、
さらに各kに対してa[k+1]≧(p/2)a[k]が成り立つような
数列になっている必要があります。

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