 | ∠ABC=90°である三角形ABCの辺BC,CA,AB上に点P,Q,Rがあり、AQ:QC=2:1,AR=AQ,QP=QR,∠PQR=90°が成立している。CP=1のときARを求めよ。
【JMO2011予選の問題】
上記の問題について、幾何的な解法は理解できましたが、座標平面を導入し、代数的に解けないか考えてみました。
A（3a,0）,B（0,0）,C（0,3c）,R（r,0）とおく。ただし、a＞0,c＞1/3,0＜r＜aとする。
また、与えられた条件より,P（0,3c-1）Q（a,2c）となる。
AQ=ARより → 二点間の距離（計算略）→ 5a^2-4c^2-6ar＋r^2=0
PQ=QRより → 二点間の距離（計算略）→ 3c^2＋2c-2ar＋r^2=1
PQ⊥RQより → 内積=0（計算略）→ a^2-ar-2c^2＋2c=0
という感じで、連立方程式を解く（正確にはrの値を求める）という方針を立てたのですが
なかなかここから進みません。どなたかもし上手い方法があればご教授願います。よろしくお願いいたしますm(__)m
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