 | b[n]=a[n+1]/a[n]
=(4a[n]-a[n-1])/a[n]
=4-a[n-1]/a[n]
=4-1/b[n-1]
b[1]=3＜2+√3
b[n-1]＜2+√3のとき
1/b[n-1]＞1/(2+√3)=2-√3
-1/b[n-1]＜-2+√3
4-1/b[n-1]＜2+√3
∴b[n]＜2+√3
となるのですべてのnに対しb[n]＜2+√3
また条件から明らかにa[n+1]＞a[n]なのでb[n]＞1
よってすべてのnに対して
1＜b[n]＜2+√3
-1＜b[n]-2＜√3
(b[n]-2)^2＜3
∴3-(b[n]-2)^2＞0
となるので、
b[n]-b[n-1]
=4-1/b[n-1]-b[n-1]
={3-(b[n-1]-2)^2}/b[n-1]
＞0
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