 | 43.直線L:4x+3y=8と円C:x^2+y^2-2x-4y+4=0がある.
(1)
C:(x-1)^2+(y-2)^2=1
中心(1,2)
半径1
(2)
直線Lと円Cの交点を(x,y)とすると
L:
4x+3y=8
↓両辺から4xを引くと
3y=8-4x
↓両辺を3で割ると
y=(8-4x)/3…(2.1)
C:
x^2+y^2-2x-4y+4=0
↓これに(2.1)を代入すると
x^2+{(8-4x)/3}^2-2x-4{(8-4x)/3}+4=0
↓両辺に9をかけると
9x^2+(8-4x)^2-18x-12(8-4x)+36=0
9x^2+64-64x+16x^2-18x-96+48x+36=0
25x^2-34x+4=0
この2次方程式の2つの解をx1,x2とすると解と係数の関係から
x1+x2=34/25
x1*x2=4/25
x1,x2に対応するy座標をy1,y2とすると(2.1)から
y1=(8-4x1)/3
y2=(8-4x2)/3
y1-y2=4(x2-x1)/3
2つの交点(x1,y1)と(x2,y2)の距離sは
s
=√{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}
↓y1-y2=4(x2-x1)/3だから
=√{(x1-x2)^2+{4(x2-x1)/3}^2}
=√{(x1-x2)^2+16(x2-x1)^2/9}
=√[25{(x1-x2)^2}/9]
=√[25{(x1+x2)^2-4x1*x2}/9]
↓x1+x2=34/25
↓x1*x2=4/25
↓だから
=√[25{(34/25)^2-4*4/25}/9]
=2√[{(17^2/25)-4}/9]
=2√{(289-100)/25/9}
=2(√21)/5
∴LがCによって切り取られてでいる線分{(x1,y1)-(x2,y2)}の長さは
(2√21)/5
44.
(a,b)を円x^2+y^2=3上の点とする
(x,y)を点(a,b)での接線上の点とする
接線ベクトル(x-a,y-b)と
法線ベクトル(a,b)は垂直だから
その内積は0になるから
((a,b),(x-a,y-b))=a(x-a)+b(y-b)=0
ax+by-a^2-b^2=0
↓a^2+b^2=3だから接線は
ax+by-3=0
ax+by=3…(3.1)
↓点(1,√3)を通るから
a+b√3=3
↓両辺からb√3を引くと
a=3-b√3
↓これをa^2+b^2=3に代入すると
(3-b√3)^2+b^2=3
4b^2-6b√3+9=3
↓両辺から3を引くと
4b^2-6b√3+6=0
↓両辺を2で割ると
2b^2-3b√3+3=0
(b-√3)(2b-√3)=0
b=√3.又は,b=√3/2
b=√3の時
a=0
y=√3
b=√3/2の時
a=3/2
3x/2+y√3/2=3
3x+y√3=6
y=(2-x)√3
∴接線の方程式は
y=√3
と
y=(2-x)√3
|
