 | 37.
Pは辺ABを3:1に内分する点だから
↑AP=(3/4)↑AB
Qは辺BCの中点だから
↑AQ=(1/2)↑AB+(1/2)↑AC
Rは線分CPとAQの交点だから
RはAQ上の点だから
↑AR=x↑AQ…(1.1)
となる実数xがある
↓↑AQ=(1/2)↑AB+(1/2)↑ACだから
↑AR=x{(1/2)↑AB+(1/2)↑AC}
↑AR=(x/2)↑AB+(x/2)↑AC…(1.2)
RはCP上の点だから
↑AR=(1-y)↑AC+y↑AP…(1.3)
となる実数yがある
↓↑AP=(3/4)↑ABだから
↑AR=(1-y)↑AC+y(3/4)↑AB
↑AR=(1-y)↑AC+(3y/4)↑AB
↑AR=(3y/4)↑AB+(1-y)↑AC
↓これと(1.2)から
(x/2)↑AB+(x/2)↑AC=(3y/4)↑AB+(1-y)↑AC
↑AB,↑ACは1次独立だから
↑ABの係数が等しいから
x/2=3y/4…(1.4)
↑ACの係数が等しいから
x/2=1-y
↓これと(1.4)から
3y/4=1-y
↓両辺に4をかけると
3y=4-4y
↓両辺に4yを加えると
7y=4
↓両辺を7で割ると
y=4/7…(1.5)
↓これを(1.4)に代入すると
x/2=3/7
↓両辺に2をかけると
x=6/7
↓これを(1.1)に代入すると
↑AR=(6/7)↑AQ
↓↑AQ=↑AR+↑RQだから
↑AR=(6/7)(↑AR+↑RQ)
↓両辺に7をかけると
7↑AR=6(↑AR+↑RQ)
7↑AR=6↑AR+6↑RQ
↓両辺から6|AR|を引くと
↑AR=6↑RQ
∴
|AR|:|RQ|=6:1…(1)の答え
(1.5)y=4/7を(1.3)に代入すると
↑AR=(1-4/7)↑AC+(4/7)↑AP
↑AR=(3/7)↑AC+(4/7)↑AP
だから
Rは線分PCを3:4に内分する点だから
∴
|PR|:|RC|=3:4…(2)の答え
38.
△ABCにおいて,|AB|=12
∠Aの2等分線と辺BCの交点をDとする
Eは辺ABを5:4に内分する点だから
↑AE=(5/9)↑AB…(3.1)
|AE|=5*12/9=20/3
Fは辺ACを1:6に内分する点だから
↑AF=(1/7)↑AC…(3.2)
線分AD,CE,BFが1点Gで交わるから
GはCE上の点だから
↑AG=(1-x)↑AC+x↑AE
となる実数xがある
↓これに(3.1)を代入すると
↑AG=(1-x)↑AC+x(5/9)↑AB
↑AG=(1-x)↑AC+(5x/9)↑AB…(3.3)
GはBF上の点だから
↑AG=(1-y)↑AB+y↑AF
となる実数yがある
↓これに(3.2)を代入すると
↑AG=(1-y)↑AB+y(1/7)↑AC
↑AG=(1-y)↑AB+(y/7)↑AC
↓これと(3.3)から
(1-y)↑AB+(y/7)↑AC=(1-x)↑AC+(5x/9)↑AB
↑AB,↑ACは1次独立だから
↑ABの係数が等しいから
1-y=5x/9…(3.4)
↑ACの係数が等しいから
y/7=1-x
↓両辺に7をかけると
y=7-7x
↓これを(3.4)に代入すると
1-(7-7x)=5x/9
7x-6=5x/9
↓両辺に9をかけると
63x-54=5x
↓両辺に54-5xを加えると
58x=54
↓両辺を58で割ると
x=27/29
↓これを(3.3)に代入すると
↑AG=(2/29)↑AC+(15/29)↑AB
↑AG=(15/29)↑AB+(2/29)↑AC
ここで
↑AH=(15/29)↑AB
↑AK=(2/29)↑AC
とすると
↑AG=↑AH+↑AK
だから
□AHGKは平行四辺形で
AGは∠HAK=∠BACの2等分線だから
∠GAH=∠GAKだから
□AHGKは菱形となるから
(2/29)|AC|=|AK|=|AH|=(15/29)|AB|
(2/29)|AC|=(15/29)|AB|
↓両辺に29/2をかけると
|AC|=(15/2)|AB|
↓|AB|=12だから
|AC|=15*12/2
|AC|=15*6
∴
|AC|=90
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