 | 39.
点Oを中心とする半径1の円Cと点Pがあり,
|OP|=2とする.
Oとの距離が1/2でPを通る直線Lを1本引き,
それとCの交点のうちPに近い方をQとする.
Oから直線Lへの垂直点をSとすると
∠OSQ=90°だから
△OQSは直角3角形だから3平方の定理から
|OS|^2+|SQ|^2=|OQ|^2
↓両辺から|OS|^2を引くと
|SQ|^2=|OQ|^2-|OS|^2
↓両辺を1/2乗すると
|SQ|=√(|OQ|^2-|OS|^2)
↓|OQ|=1,|OS|=1/2だから
|SQ|=√(1^2-1/2^2)
|SQ|=√(1-1/4)
|SQ|=(√3)/2…(1)
∠OSP=90°だから
△OPSは直角3角形だから3平方の定理から
|OS|^2+|SP|^2=|OP|^2
↓両辺から|OS|^2を引くと
|SP|^2=|OP|^2-|OS|^2
↓両辺を1/2乗すると
|SP|=√(|OP|^2-|OS|^2)
↓|OP|=2,|OS|=1/2だから
|SP|=√(2^2-1/2^2)
|SP|=√(4-1/4)
|SP|=(√15)/2
↓これから(1)を引くと
↓|PQ|=|SP|-|SQ|
↓だから
|PQ|=(√15-√3)/2
40.
中心間距離が7で,半径が5,3√2の2つの球面S1,S2がある.
2>1
↓両辺を1/2乗すると
√2>1
↓両辺に3をかけると
3√2>3
↓両辺に5を加えると
5+3√2>8>7
∴
S1,S2は交わる
その交わりの円Mの半径をr
MとS1の中心間距離をa
S1の中心をA
S2の中心をB
Mの中心をO
M周上の点をP
とすると
∠AOP=90°だから
△AOPは直角三角形だから3平方の定理から
|OP|^2+|AO|^2=|AP|^2
↓|OP|=r,|AO|=a,|AP|=5だから
r^2+a^2=5^2
r^2+a^2=25
↓両辺からr^2を引くと
a^2=25-r^2
↓両辺を1/2乗すると
a=√(25-r^2)
∠BOP=90°だから
△BOPは直角三角形だから3平方の定理から
|BP|^2=|BO|^2+|OP|^2
↓|BP|=2√3,|BO|=7-a,|OP|=rだから
2*3^2=(7-a)^2+r^2
18=(7-a)^2+r^2
↓両辺からr^2を引くと
18-r^2=(7-a)^2
18-r^2=49-14a+a^2
↓a^2=25-r^2だから
18-r^2=49-14a+25-r^2
↓両辺にr^2+14a-18を加えると
14a=56
↓両辺を14で割ると
a=4
↓これをr^2+a^2=25に代入すると
r^2+16=25
↓両辺から16を引くと
r^2=9
↓両辺を1/2乗すると
∴交わりの円の半径は
r=3
41.
4面体ABCDにおいて,
|AB|=|AC|=|AD|
の時,
頂点AからBCDに下した垂線と面BCDの交点をHとすると
∠AHB=90°だから
△AHBは直角三角形だから
|AH|^2+|BH|^2=|AB|^2
↓両辺から|AH|^2を引くと
|BH|^2=|AB|^2-|AH|^2
∠AHC=90°だから
△AHCは直角三角形だから
|AH|^2+|CH|^2=|AC|^2
↓両辺から|AH|^2を引くと
|CH|^2=|AC|^2-|AH|^2
↓|AB|=|AC|だから
|CH|^2=|AB|^2-|AH|^2
↓|BH|^2=|AB|^2-|AH|^2だから
|BH|^2=|CH|^2
↓両辺を1/2乗すると
|BH|=|CH|
∠AHD=90°だから
△AHDは直角三角形だから
|AH|^2+|DH|^2=|AD|^2
↓両辺から|AH|^2を引くと
|DH|^2=|AD|^2-|AH|^2
↓|AB|=|AD|だから
|DH|^2=|AB|^2-|AH|^2
↓|BH|^2=|AB|^2-|AH|^2だから
|BH|^2=|DH|^2
↓両辺を1/2乗すると
|BH|=|DH|
↓|BH|=|CH|だから
|BH|=|CH|=|DH|
だからHは外接円の中心だから
Hは△BCDの外心
である
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