 | 35.
4枚の硬貨を同時に投げる試行を4回繰り返すとき,
2枚が表で2枚が裏となる回数をXとする.
2枚が表で2枚が裏となる確率は
4C2(1/2)^2(1/2)^2=3/8
だから
2枚が表で2枚が裏とならない確率は
1-3/8=5/8
だから
4回とも2枚が表で2枚が裏とならない確率は
P(X=0)=(5/8)^4
1回だけ2枚が表で2枚が裏となる確率は
P(X=1)=4(3/8)(5/8)^3
2回だけ2枚が表で2枚が裏となる確率は
P(X=2)=4C2(3/8)^2(5/8)^2
3回だけ2枚が表で2枚が裏となる確率は
P(X=3)=4(5/8)(3/8)^3
4回とも2枚が表で2枚が裏となる確率は
P(X=4)=(3/8)^4
Xの平均値は
EX
=Σ_{k=1〜4}kP(X=k)
=Σ_{k=1〜4}k(4Ck){(3/8)^k}(5/8)^(4-k)
=4(3/8)(5/8)^3+2*4C2(3/8)^2(5/8)^2+3*4(5/8)(3/8)^3+4*(3/8)^4
=4(3/8){(5/8)^3+3(3/8)(5/8)^2+3(5/8)(3/8)^2+(3/8)^3}
=4(3/8)
=3/2
Xの分散は
V[X]
=E[X-EX]^2
=E[X^2]-(EX)^2
=Σ_{k=1〜4}k^2P(X=k)-(EX)^2
=Σ_{k=1〜4}k^2(4Ck){(3/8)^k}(5/8)^(4-k)-(EX)^2
=Σ_{k=2〜4}k(k-1)(4Ck){(3/8)^k}(5/8)^(4-k)+Σ_{k=1〜4}k(4Ck){(3/8)^k}(5/8)^(4-k)-(EX)^2
=4*3(3/8)^2Σ_{k=2〜4}2/{(k-2)!(4-k)!}{(3/8)^(k-2)}(5/8)^(4-k)+EX-(EX)^2
=4*3(3/8)^2{(5/8)^(2)+2(3/8)(5/8)+(3/8)^2}+EX-(EX)^2
=4*3(3/8)^2+EX-(EX)^2
=4*3(3/8)^2+3/2-(3/2)^2
=(3/2){3(3/8)+1-3/2}
=(3/2)(9/8-1/2)
=(3/2)(5/8)
=15/16
だから
Xの標準偏差は
√(V[X])=√(15/16)=(√15)/4
36.
AとBの2人があるゲームを繰り返し行い,先に4勝した方を優勝とする.
1回ごとのゲームでAが勝つ確率が1/3,Bが勝つ確率が2/3のとき
(1)
ちょうど6回目のゲームでAが優勝する確率は
5回目までAが3勝,Bが2勝し,6回目にAが勝つ確率だから
5C2(1/3)^3(2/3)^2*(1/3)=40/3^6
=40/729
(2)
どちらかが優勝するまでに必要なゲームの回数をXとすると
Aが4勝0敗又はBが4勝0敗の確率は
P(X=4)=(1/3)^4+(2/3)^4=(1+16)/3^4=17/81
Aが4勝1敗又はBが4勝1敗の確率は
P(X=5)=4(2/3)(1/3)^4+4(1/3)(2/3)^4=8/3^3=8/27
Aが4勝2敗又はBが4勝2敗の確率は
P(X=6)=5C2{(1/3)^4(2/3)^2+(1/3)^2(2/3)^4}=200/729
6回目でAが3勝Bが3勝の確率は
P(X=7)=6C3(1/3)^3(2/3)^3=160/729
17/81+8/27+200/729+160/729=(153+216+200+160)/729=1
Xの期待値EXは
EX
=Σ_{k=4〜7}kP(X=k)
=4*17/81+5*8/27+6*200/729+7*160/729
=(4*153+5*216+6*200+7*160)/729
=(612+1080+1200+1120)/729
=4012/729
≒5.503429355281207
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