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袋の中に1から7までの番号が書かれた球が7個入っている.
ここから同時に3個の球を取り出す.
取り出された3個の球に書かれている数を大きいものから順にX,Y,Zとする.
7個の球にはそれぞれ互いに異なる1個の番号が書かれていて,どの球も取り出される確率は,皆等しいものとする.
7≧X>Y>Z
X>Y>Z≧1
だから
3≦X≦7
2≦Y≦6
1≦Z≦5
X=3の時
Y=2,Z=1の1通りだから
P(X=3)=1/(7C3)=1/35
X=4の時
1〜3の中からY>Zの2つを選ぶ
3C2=3通りだから
P(X=4)=3/(7C3)=3/35
X=5の時
1〜4の中からY>Zの2つを選ぶ
4C2通りだから
P(X=5)=4C2/(7C3)=6/35
X=6の時
1〜5の中からY>Zの2つを選ぶ
5C2通りだから
P(X=6)=5C2/(7C3)=10/35=2/7
X=7の時
1〜6の中からY>Zの2つを選ぶ
6C2通りだから
P(X=7)=6C2/(7C3)=15/35=3/7
だから
Xの期待値
E(X)
=Σ_{k=3〜7}kP(X=k)
=3/35+4*3/35+5*6/35+6*2/7+7*3/7
=6
Z=1の時
2〜7の中からX>Yの2つを選ぶ
6C2通りだから
P(Z=1)=6C2/(7C3)=15/35=3/7
Z=2の時
3〜7の中からX>Yの2つを選ぶ
5C2通りだから
P(Z=2)=5C2/(7C3)=10/35=2/7
Z=3の時
4〜7の中からX>Yの2つを選ぶ
4C2通りだから
P(Z=3)=4C2/(7C3)=6/35
Z=4の時
5〜7の中からX>Yの2つを選ぶ
3C2=3通りだから
P(Z=4)=3/(7C3)=3/35
Z=5の時
X=7,Y=6の1通りだから
P(Z=5)=1/(7C3)=1/35
だから
Zの期待値
E(Z)
=Σ_{k=1〜5}kP(Z=k)
=3/7+2*2/7+3*6/35+4*3/35+5/35
=2
Y=2の時
Z=1
3〜7の中から1つXを選ぶ5通りだから
P(Y=2)=5/(7C3)=5/35=1/7
Y=3の時
4〜7の中から1つXを選ぶ4通り
それぞれに対して
1,2のどちらかから1つZを選ぶ2通りだから
P(Y=3)=4*2/(7C3)=8/35
Y=4の時
5〜7の中から1つXを選ぶ3通り
それぞれに対して
1〜3の中から1つZを選ぶ3通りだから
P(Y=4)=3*3/(7C3)=9/35
Y=5の時
6,7のどちらかから1つXを選ぶ2通り
それぞれに対して
1〜4の中から1つZを選ぶ4通りだから
P(Y=5)=2*4/(7C3)=8/35
Y=6の時
X=7
1〜5の中から1つZを選ぶ5通りだから
P(Y=6)=5/(7C3)=5/35=1/7
だから
Yの期待値
E(Y)
=Σ_{k=2〜6}kP(Y=k)
=2/7+3*8/35+4*9/35+5*8/35+6/7
=4
34.
1から10までの番号が書かれた札が1枚ずつある.
この10枚の札から無作為に5枚の札を取り出す.
このとき,取り出された札のうち,番号が5以下であるものの枚数をXとおく
(1)
X=0の時
6,7,8,9,10の5枚を取り出す1通りだから
P(X=0)=1/(10C5)=5*4*3*2/(10*9*8*7*6)=1/252
X=1の時
1〜5の5枚の中から1枚取り出す5通りそれぞれに対して
6〜10の5枚の中から4枚取り出す5通りだから
P(X=1)=5*5/(10C5)=25/252
X=2の時
1〜5の5枚の中から2枚取り出す5C2通りそれぞれに対して
6〜10の5枚の中から3枚取り出す5C3通りだから
P(X=2)=5C2*5C3/(10C5)=100/252=25/63
X=3の時
1〜5の5枚の中から3枚取り出す5C3通りそれぞれに対して
6〜10の5枚の中から2枚取り出す5C2通りだから
P(X=3)=5C3*5C2/(10C5)=100/252=25/63
X=4の時
1〜5の5枚の中から4枚取り出す5通りそれぞれに対して
6〜10の5枚の中から1枚取り出す5通りだから
P(X=4)=5*5/(10C5)=25/252
X=5の時
1,2,3,4,5の5枚を取り出す1通りだから
P(X=5)=1/(10C5)=1/252
∴確率分布は
F(k)=P(X=k)=(5Ck)^2/252,(k=0,1,2,3,4,5)
(2)
E(X)
=Σ_{k=1〜5}kP(X=k)
=25/252+2*25/63+3*25/63+4*25/252+5/252
=5/2
V(X)
=E(X-EX)^2
=E(X^2)-(EX)^2
=Σ_{k=1〜5}k^2P(X=k)-25/4
=25/252+4*25/63+9*25/63+16*25/252+25/252-25/4
=25/36
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