 | |↑a-↑b|^2=|↑a|^2+|↑b|^2-2(↑a,↑b)
↓両辺に2(↑a,↑b)-|↑a-↑b|^2を加えると
2(↑a,↑b)=|↑a|^2+|↑b|^2-|↑a-↑b|^2
↓|↑a|=|↑b|=2
↓|↑a-↑b|=2√3
↓だから
2(↑a,↑b)=2^2+2^2-12=4+4-12=-4
↓両辺を2で割ると
(↑a,↑b)=-2
|↑a+↑b|^2=|↑a|^2+|↑b|^2+2(↑a,↑b)
↓|↑a|=|↑b|=2
↓(↑a,↑b)=-2
↓だから
|↑a+↑b|^2=2^2+2^2+2(-2)=4
↓両辺を1/2乗すると
|↑a+↑b|=2
↑pと↑a+↑bの角をtとすると
{(↑a+↑b)・↑p}=|↑a+↑b||↑p|cost
↓|↑a+↑b|=2
↓だから
{(↑a+↑b)・↑p}=2|↑p|cost
(↑p-↑a)・(↑p-↑b)=0
↓(↑p-↑a)・(↑p-↑b)=|↑p|^2-{(↑a+↑b)・↑p}+(↑a・↑b)
↓だから
|↑p|^2-{(↑a+↑b)・↑p}+(↑a・↑b)=0
↓(↑a,↑b)=-2だから
|↑p|^2-{(↑a+↑b)・↑p}-2=0
↓{(↑a+↑b)・↑p}=2|↑p|cost
↓だから
|↑p|^2-(2|↑p|cost)-2=0
(|↑p|-cost)^2-(cost)^2-2=0
↓両辺に2+(cost)^2を加えると
(|↑p|-cost)^2=2+(cost)^2
↓両辺を1/2乗すると
|↑p|-cost=±√{2+(cost)^2}
↓両辺にcostを加えると
|↑p|=cost±√{2+(cost)^2}
↓cost≦√{2+(cost)^2},|↑p|≧0だから
|↑p|=cost+√{2+(cost)^2}
t=0の時
↑p={(1+√3)/2}(↑a+↑b)
の時
|↑p|の最大値1+√3
t=πの時
↑p={(1-√3)/2}(↑a+↑b)
の時
|↑p|の最小値-1+√3
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