 | (1)
|AB|^2
=|↑CB-↑CA|^2
=|CB|^2+|CA|^2-2(↑CB・↑CA)
=|CB|^2+|CA|^2-2(↑a・↑b)
↓
|AB|^2=|CB|^2+|CA|^2-2(↑a・↑b)
↓両辺に2(↑a・↑b)-|AB|^2を加えると
2(↑a・↑b)=|CB|^2+|CA|^2-|AB|^2
↓両辺を2で割ると
(↑a・↑b)=(|CB|^2+|CA|^2-|AB|^2)/2
↓|CB|=5,|CA|=4,|AB|=6だから
(↑a・↑b)=(5^2+4^2-6^2)/2
(↑a・↑b)=(25+16-36)/2
(↑a・↑b)=5/2…(1)
(2)
EはAB上の点だから
↑CE=(1-t)↑a+t↑b
CEは∠Cの2等分線だから
(1-t):t=1/|CA|:1/|CB|=|CB|:|CA|=5:4
5t=4(1-t)
9t=4
t=4/9
∴
↑CE=(5/9)↑a+(4/9)↑b…(2.1)
|CE|^2
=|(5/9)↑a+(4/9)↑b|^2
=(5/9)^2|CA|^2+(4/9)^2|CB|^2+2(5/9)(4/9)(↑a・↑b)
=2*16*25/81+2(5/9)(4/9)(5/2)
=100/9
∴
|CE|=10/3…(2.2)
(3)
↑CD・↑a=|CD||CA|cos∠DCA
↓|CD|cos∠DCA=|CA|/2だから
↑CD・↑a=|CA|^2/2
↓|CA|=4だから
↑CD・↑a=8…(3.1)
↑CD・↑b=|CD||CB|cos∠DCB
↓|CD|cos∠DCB=|CB|/2だから
↑CD・↑b=|CB|^2/2
↓|CB|=5だから
↑CD・↑b=25/2…(3.2)
↑CD=x↑a+y↑b…(3.3)
とする
↑CD・↑b=x(↑a・↑b)+y|CB|^2
↓(1)と|CB|=5から
↑CD・↑b=5x/2+25y
↓これと(3.2)から
5x/2+25y=25/2
x+10y=5…(3.4)
↑CD・↑a=x|CA|^2+y(↑a・↑b)
↓(1)と|CA|=4から
↑CD・↑a=16x+5y/2
↓これと(3.1)から
16x+5y/2=8
↓両辺に4をかけると
64x+10y=32
↓これから(3.4)を引くと
63x=27
↓両辺を63で割ると
x=3/7…(3.5)
↓これを(3.4)に代入すると
3/7+10y=5
↓両辺から3/7を引くと
10y=32/7
↓両辺を10で割ると
y=16/35
↓これと(3.5)を(3.3)に代入すると
∴
↑CD=(3/7)↑a+(16/35)↑b
↑CD・↑CE
={(3/7)↑a+(16/35)↑b}・{(5/9)↑a+(4/9)↑b}
=(5/21)|CA|^2+(4/9)(↑a・↑b)+(64/315)|CB|^2
↓|CA|=4,|CB|=5,(1)から
=(16*5/21)+(4*5/9/2)+(64*25/315)
=(80/21)+(10/9)+(64*5/63)
=10(24+7+32)/63
=10…(3.6)
(4)
点Dから線分CEに下した垂線と線分CEとの交点をPとする.
↑CD・↑CE=|CD||CE|cos∠DCE
↓|CP|=|CD|cos∠DCEだから
↑CD・↑CE=|CP||CE|
↓両辺を|CE|で割り左右を入れ替えると
|CP|=(↑CD・↑CE)/|CE|
↓(3.6),(2.2)から
|CP|=3…(4.1)
PはCE上の点だから
↑CP=t↑CE…(4.2)
となる実数tがあるから
|CP|=t|CE|
↓(4.1),(2.2)から
3=10t/3
↓両辺に3/10をかけて左右を入れ替えると
t=9/10
↓これを(4.2)に代入すると
↑CP=(9/10)↑CE
↓これに(2.1)を代入すると
∴
↑CP=(1/2)↑a+(2/5)↑b
|
