 | f(z)=z^2/(z^2+1)^3
とすると
f(z)の特異点は±iで,3位の極である
Cの内部にあるものはiだけである
z=iはf(z)の3位の極だから
Res[f(z),i]
=(1/2)lim_{z→i}{z^2/(z+i)^3}"
=(1/2)lim_{z→i}[2{z/(z+i)^3}'-3{z^2/(z+i)^4}']
=(1/2)lim_{z→i}[2{1/(z+i)^3-3z/(z+i)^4}-3{2z/(z+i)^4-4z^2/(z+i)^5}]
=(1/2)lim_{z→i}[2/(z+i)^3-12z/(z+i)^4+12z^2/(z+i)^5]
=lim_{z→i}[(z+i)^2-6z(z+i)+6z^2]/(z+i)^5
=lim_{z→i}(z^2-4iz-1)/(z+i)^5
=-i/16
∴
∫_{C}f(z)dz
=i2πRes[f(z),i]
=π/8
したがって
∫_{-R～R}f(z)dz+∫_{Γ}f(z)dz=π/8
lim_{R→∞}∫_{Γ}f(z)dz=lim_{R→∞}∫_{0～π}[ie^(3it)/{Re^(2it)+1/R}^3]dt=0
∴
∫_{-∞～∞}x^2/(x^2+1)^3dx=π/8
したがって
∫_{0～∞}x^2/(x^2+1)^3dx=π/16
|
