 | aは実数とする。
関数f(x)=x^4-6x^2-4ax+a^2は３つの極値を持つものとする。
(1)
関数
y=x^3-3x
をxで微分すると
y'=3x^2-3=3(x+1)(x-1)
だから
x<-1の時y'>0だからyは増加↑
x=-1の時y=2
-1<x<1の時y'<0だからyは減少↓
x=1の時y=-2
x>1の時y'>0だからyは増加↑
(2)
f'(x)=4x^3-12x-4a=4(x^3-3x-a)
f"(x)=12(x+1)(x-1)
だから
x→-∞の時f'(x)→-∞
x<-1の時f"(x)>0だからf'(x)は増加↑
f'(-1)=4(2-a)
-1<x<1の時f"(x)<0だからf'(x)は減少↓
f'(1)=4(-2-a)
x>1の時f"(x)>0だからf'(x)は増加↑
x→∞の時f'(x)→∞
f(x)が極値を
x<-1で1つ
-1<x<1で1つ
1<xで1つ
の3つ持つために
f'(-1)=4(2-a)>0
f'(1)=4(-2-a)<0
となるから
∴
-2<a<2
(3)
f'(x)=4(x^3-3x-a)=0
の3次方程式の3つの解をα,β,γとすると
x^3-3x-a
=(x-α)(x-β)(x-γ)
=x^3-(α+β+γ)x^2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ
α+β+γ=0
αβ+βγ+γα=-3
αβγ=a
(α+β+γ)^2=0
=α^2+β^2+γ^2+2(αβ+βγ+γα)=0
=α^2+β^2+γ^2+2(-3)=0
α^2+β^2+γ^2=6
α^3=3α+a
β^3=3β+a
γ^3=3γ+a
α^4=3α^2+aα
β^4=3β^2+aβ
γ^4=3γ^2+aγ
α^4+β^4+γ^4=3(α^2+β^2+γ^2)=3*6=18
f(x)の3つの極値の和をSとすると
S
=f(α)+f(β)+f(γ)
=α^4+β^4+γ^4-6(α^2+β^2+γ^2)-4a(α+β+γ)+3a^2
=18-36+3a^2
=3(a^2-6)
-2<a<2
0≦a^2<4
-6≦a^2-6<-2
-18≦3(a^2-6)<-6
∴
-18≦S<-6
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