 | (1)
nを自然数とする
-1/(n+1)-{-1/n+1/(n+1)^2}
=-1/(n+1)+1/n-1/(n+1)^2
={(n+1)^2-n(n+1)-n}/{n(n+1)^2}
=(n^2+2n+1-n^2-n-n)/{n(n+1)^2}
=1/{n(n+1)^2}
>0
だから
両辺に{-1/n+1/(n+1)^2}を加え左右を入れ替えると
∴
-1/n+1/(n+1)^2<-1/(n+1)
(2)
P(n)=[Σ_{k=1〜n}1/(k+1)^2<2-1/(n+1)]
とする
P(1)=[1+1/2^2=1+1/4<1+1/2=3/2=2-1/2]は真
ある自然数nに対してP(n)が真と仮定すると
Σ_{k=1〜n}1/(k+1)^2<2-1/(n+1)
↓(1)から1/(n+2)^2<1/(n+1)-1/(n+2)を加えると
Σ_{k=1〜n+1}1/(k+1)^2<2-1/(n+2)
となって
P(n+1)も真となるから
∴
全ての自然数nに対して
Σ_{k=1〜n}1/(k+1)^2<2-1/(n+1)
|
