 | 放物線y=x^2の異なる2点P,Qにおけるそれぞれの接線の交点をAとする.
∠PAQ=90°
∠APQ=60°
∠AQP=30°
となるとき
P(p,p^2)…(1)
Q(q,q^2)…(2)
とすると
Pでの接線の式は
y=2px-p^2…(3)
Qでの接線の式は
y=2qx-q^2…(4)
となるから
(3)と(4)の
交点をA(x,y)とすると
(3)(4)の連立方程式を解くと
x=(p+q)/2
y=pq
だから
∴
A=((p+q)/2,pq)
(↑AP,↑AQ)=|AP||AQ|cos∠PAQ=|AP||AQ|cos90°=0
↑AP=P-A=(p-(p+q)/2,p^2-pq)=((p-q)/2,p(p-q))=(p-q)(1/2,p)
↑AQ=Q-A=(q-(p+q)/2,q^2-pq)=((q-p)/2,q(q-p))=(q-p)(1/2,q)
だから
(↑AP,↑AQ)=-(p-q)^2{(1/4)+pq}=0
↓p-q≠0だから
(1/4)+pq=0
↓両辺から1/4を引くと
pq=-1/4…(5)
q=-1/(4p)…(6)
(↑PA,↑PQ)=|PA||PQ|cos∠APQ=|PA||PQ|cos60°=|PA||PQ|/2
↑PA=A-P=(q-p)(1/2,p)
↑PQ=Q-P=(q-p,q^2-p^2)=(q-p)(1,q+p)
|PA|=|A-P|=|q-p|√(1/4+p^2)
|PQ|=|Q-P|=|q-p|√(p^2+q^2+1/2)
(↑PA,↑PQ)
=(A-P,Q-P)
=(q-p)^2{(1/2)+p(p+q)}
=(q-p)^2{(1/2)+p^2+pq}
↓(5)から
=(q-p)^2{(1/2)+p^2-(1/4)}
=(q-p)^2{p^2+(1/4)}
↓(↑PA,↑PQ)=|A-P||Q-P|/2={(q-p)^2}{√(1/4+p^2)√(p^2+q^2+1/2)}/2
↓だから
(q-p)^2{p^2+(1/4)}={(q-p)^2}{√(1/4+p^2)√(p^2+q^2+1/2)}/2
↓両辺を(q-p)^2で割ると
√(1/4+p^2)={√(p^2+q^2+1/2)}/2
↓両辺に2をかけると
2√(1/4+p^2)=√(p^2+q^2+1/2)
↓両辺を2乗すると
1+4p^2=p^2+q^2+1/2
↓両辺からp^2+1/2を引くと
1/2+3p^2=q^2
↓(6)から
1/2+3p^2=1/(16p^2)
↓両辺に16p^2をかけると
8p^2+48p^4=1
↓両辺から1を引くと
48p^4+8p^2-1=0
(12p^2-1)(4p^2+1)=0
↓4p^2+1>0だから
12p^2-1=0
↓両辺に1を加えると
12p^2=1
↓両辺を12で割ると
p^2=1/12
↓両辺を1/2乗すると
p=(±√3)/6…(7)
↓これを(6)に代入すると
q=(-±√3)/2
これと(7)を(1)(2)に代入すると
∴
P=((√3)/6,1/12)
Q=(-√3)/2,3/4)
又は
P=(-(√3)/6,1/12)
Q=((√3)/2,3/4)
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