 | kを正の定数とする.
xy平面において放物線y=x^2と直線y=x+kで
囲まれた領域に含まれる円の最大の半径をrとする
円は直線y=x+kと1点で接する
円は放物線と1点以上で接する
接点以外の交点を持たない
A=(1/2,1/4)とする
(x,y)=Aの時,放物線の接線の傾きはy'=2x=1となる
接線は直線y=x+kの傾き1と同じ平行になる
法線は
y=-x+(3/4)
となる
法線と直線y=x+kの交点をB=(x,y)とすると
B=((3-4k)/8,(3+4k)/8)
|AB|/2={(4k+1)√2}/16
となる
ABの中点をC(x,y)とすると
C=((7-4k)/16,(4k+5)/16)
だから中心C半径|CA|の円の方程式は
{x-(7-4k)/16}^2+{y-(4k+5)/16}^2=(4k+1)^2/128
(16x+4k-7)^2+(16y-4k-5)^2=2(4k+1)^2
32x^2+4(4k-7)x+32y^2-4(4k+5)y-4k+9=0
放物線との交点を(x,x^2)してy=x^2を代入すると
(2x-1)^2{8(x+1/2)^2+7-4k}=0
0<k≦7/4の時
円と放物線の交点は接点Aだけとなるから
最大半径は
r={(4k+1)√2}/16
k>7/4の時は
円と放物線は2点で接して中心はy軸上にある
x座標が正の方の接点をA=(a,a^2)とすると
法線は
y={-1/(2a)}x+a^2+(1/2)
だから
中心Cは
C=(0,a^2+(1/2))
|CA|=√{a^2+(1/4)}
Cから直線y=x+kへの垂線
y=-x+a^2+(1/2)
とy=x+kの交点をB=(x,y)とすると
B=(a^2/2-k/2+1/4,a^2/2+k/2+1/4)
|BC|=|CA|だから
(k/2-a^2/2-1/4)√2=√(a^2+1/4)
(2a^2+1-2k)^2=8a^2+2
(2a^2-2k-1)^2=8k+2
a^2=[2k+1-√{2(4k+1)}]/2
|BC|=[{√(4k+1)}-√2]/2
0<k≦7/4の時
r={(4k+1)√2}/16
k>7/4の時は
r=[{√(4k+1)}-√2]/2
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