 | nを自然数とする。整数kに関する次の条件(C),(D)を考える。
(C) 0≦k＜n
(D) k/n≦1/m＜(k+1)/n を満たす自然数mが存在する。
条件(C),(D)をどちらも満たす整数kの個数をT[n]とする。
k<nだから
k+1≦nだから
k/n≦1/m<(k+1)/n≦1だから
k/n≦1/m<1となる最大の1/mは1/2だから
T[n]は
k/n≦1/2となるkの個数となる
k/n≦1/2となるkの最大値は
k≦n/2となるkの最大値で
n/2の整数部[n/2]=int[n/2]だから
T[n]=[n/2]+1
[n/2]≦n/2<[n/2]+1
n/2<[n/2]+1≦n/2+1=(n+2)/2
n/2<T[n]≦(n+2)/2
(log(n/2))/(log(n))≦(log(T[n]))/(log(n))≦(log((n+2)/2))/(log(n))
{log(n)-log(2)}/(log(n))≦(log(T[n]))/(log(n))≦{log(n)+log(1+2/n)-log(2)}/log(n)
1-log(2)/log(n)≦(log(T[n]))/(log(n))≦1+{log(1+2/n)-log(2)}/log(n)
lim[n→∞]1-log(2)/log(n)≦lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))≦lim[n→∞]1+{log(1+2/n)-log(2)}/log(n)
1≦lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))≦1
∴
lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))=1
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