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■48875 / inTopicNo.1)

　ベクトルについて。

□投稿者/ コルム一般人(3回)-(2018/10/27(Sat) 18:37:44)

各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点をRとする。 (1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて表せ。
(2)四角形APRQの面積をtで表せ。
教えていただけると幸いです。

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■48876 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(6回)-(2018/10/29(Mon) 16:40:57)

各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。
辺OBの中点をP、
辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、
平面APQと辺OCの交点をRとする。
(1)
ABCDは正方形だから
AC=AB+AD
OC-OA=OB-OA+OD-OA
OC=OB+OD-OA
PはOBの中点だから
OP=(1/2)OB
QはODをt:(1-t)に内分する点だから
OQ=tOD

AP
=OP-OA
↓OP=(1/2)OBだから
=(1/2)OB-OA

AQ
=OQ-OA
↓OQ=tODだから
=tOD-OA

Rは直線OC上の点だから
OR=zOC
となるzがある

Rは平面APQ上の点だから
AR=xAP+yAQ…(1)
↓AP=(1/2)OB-OA
↓AQ=tOD-OAだから
AR=x{(1/2)OB-OA}+y(tOD-OA)
AR=(x/2)OB+ytOD-(x+y)OA

AR=OR-OA
↓OR=zOCだから
AR=zOC-OA
↓OC=OB+OD-OAだから
AR=z(OB+OD-OA)-OA
AR=zOB+zOD-(z+1)OA
↓AR=(x/2)OB+ytOD-(x+y)OAだから
zOB+zOD-(z+1)OA=(x/2)OB+ytOD-(x+y)OA
↓両辺に(x+y)OA-(x/2)OB-ytODを加えると
{z-(x/2)}OB+(z-yt)OD+(x+y-z-1)OA=0
↓OB,OD,OAは1次独立だから
z-(x/2)=0…(2)
z-yt=0…(3)
x+y-z-1=0
↓両辺にzを加えると
x+y-1=z…(4)
(1)の両辺にx/2を加えると
z=x/2…(5)
(2)の両辺にytを加えると
z=yt…(6)
(4)=(5)から
x+y-1=x/2
↓両辺に2をかけると
2x+2y-2=x
↓両辺に2-xを加えると
x+2y=2…(7)
(5)=(6)から
x/2=yt
↓両辺に2をかけると
x=2yt
↓これを(7)に代入すると
2yt+2y=2
2y(1+t)=2
↓両辺を2(1+t)で割ると
y=1/(1+t)…(8)
↓これを(7)に代入すると
x=2t/(1+t)
↓これと(8)を(1)に代入すると
∴
↑AR={2t/(1+t)}↑AP+{1/(1+t)}↑AQ

(2)
AR={2t/(1+t)}AP+{1/(1+t)}AQ
(AP,AR)={2t/(1+t)}|AP|^2+{1/(1+t)}(AP,AQ)
(AQ,AR)={2t/(1+t)}(AP,AQ)+{1/(1+t)}|AQ|^2
|AR|^2={4t^2/(1+t)^2}|AP|^2+{1/(1+t)^2}|AQ|^2+{4t/(1+t)^2}(AP,AQ)
(AP,AR)^2={4t^2/(1+t)^2}|AP|^4+{1/(1+t)^2}(AP,AQ)^2+{4t/(1+t)^2}|AP|^2(AP,AQ)
(AQ,AR)^2={4t^2/(1+t)^2}(AP,AQ)^2+{1/(1+t)^2}|AQ|^4+{4t/(1+t)^2}|AQ|^2(AP,AQ)
|AP|^2|AR|^2={4t^2/(1+t)^2}|AP|^4+{1/(1+t)^2}|AP|^2|AQ|^2+{4t/(1+t)^2}|AP|^2(AP,AQ)
|AQ|^2|AR|^2={4t^2/(1+t)^2}|AP|^2|AQ|^2+{1/(1+t)^2}|AQ|^4+{4t/(1+t)^2}|AQ|^2(AP,AQ)
|AP|^2|AR|^2-(AP,AR)^2={1/(1+t)^2}[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]
|AQ|^2|AR|^2-(AQ,AR)^2={4t^2/(1+t)^2}[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]

|△APR|
=(1/2)|AP||AR|sin∠PAR
=(1/2)√[|AP|^2|AR|^2-(AP,AR)^2]
=[1/{2(1+t)}]√[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]

|△AQR|
=(1/2)|AQ||AR|sin∠PAR
=(1/2)√[|AQ|^2|AR|^2-(AQ,AR)^2]
={t/(1+t)}√[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]

△OABは辺長1の正3角形で
APはAからOBへの垂直2等分線だから
|AP|=(√3)/2
|AP|^2=3/4

△OADは辺長1の正3角形で
∠AOQ=∠AOD=60°
|OA|=1
|OQ|=t|OD|
だから
|AQ|^2
=|OA|^2+|OQ|^2-2|OA||OQ|cos∠AOQ
=t^2-t+1
だから
|AP|^2|AQ|^2=3(t^2-t+1)/4

(AP,AQ)
=((1/2)OB-OA,tOD-OA)
=(t/2)(OB,OD)-t(OA,OD)-(1/2)(OB,OA)+|OA|^2
=(t/2)|OB||OD|cos∠BOD-t|OA||OD|cos∠AOD-(1/2)|OB||OA|cos∠AOB+1
=(t/2)|OB||OD|cos90°-t|OA||OD|cos60°-(1/2)|OB||OA|cos60°+1
=-(t/2)-(1/4)+1
=3/4-t/2
=(3-2t)/4
だから
(AP,AQ)^2=(3-2t)^2/16=(4t^2-12t+9)/16
だから
|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2
=3(t^2-t+1)/4-(4t^2-12t+9)/16
=(8t^2+3)/16

|□APRQ|
=|△APR|+|△AQR|
=[(2t+1)/{2(1+t)}]√[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]
=[(2t+1)√(8t^2+3)]/{8(1+t)}

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■48877 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ コルム一般人(4回)-(2018/10/29(Mon) 18:47:01)

ありがとうございました。感謝します。

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■48879 / inTopicNo.4)

　Re[1]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ コルム一般人(5回)-(2018/10/30(Tue) 20:40:32)

すみません。
(1)
基準点と3つの基本ベクトルを適切に定める（解答者任意）
定める例
点OとOA↑,OB↑,OD↑
点AとAO↑,AB↑,AD↑
四角形ABCDの中心(点Hと呼ぶ)とHA↑,HB↑,HO↑

AP↑、AQ↑を上で定めた基本ベクトルで表す

AR↑を（解答者任意に定める文字3つを使って）2つの方法で基本ベクトルで表す
表し方１：文字1つ：点RはOC上の点
表し方２：文字2つ：点Rは3つの点A,P,Qで定まる平面上にある

同じベクトルの基本ベクトルによる表し方は同じ基本ベクトルの係数が同じになるから
連立方程式（3つの方程式）ができるので、解答者が定めた3つの文字が t で表せる

表し方２を t で書いて終了

(2)　うまいやり方が思いつかなかったので地道に

一般論　△ABCの面積は、AB↑,AC↑の大きさと内積が計算できれば求められます
（計算が面倒）

この問題 (1)で考えた基本ベクトルの和で各点は表せるのでベクトルの大きさと内積は計算できます

解き方１（面倒な計算が2回）
四角形を2つの三角形に分解して面積を合計

解き方２（面倒な計算が1回）
(1)の結果よりAP'↑=2*AP↑ となる点P'を考えると
四角形APRQの面積は△AP'Q の面積から△PP'Rの面積を引けば求められて
△AP'Qと△PP'Rの面積比が t を使った比で表せることから△AP'Qの面積を求めて比を使って四角形の面積を計算
この通りにすべて解いていただけないでしょうか？
教えていただけると幸いです。本当にすみません。

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■48888 / inTopicNo.5)

　Re[2]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ コルム一般人(6回)-(2018/11/11(Sun) 19:32:58)

(2)の解き方2を教えていただければと思います。無理でしょうか？

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■48891 / inTopicNo.6)

　Re[3]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(14回)-(2018/11/14(Wed) 21:47:43)

AP'=2APとなる点P'をとると
|△AP'Q|:|△PP'Q|=2:1
|△PP'Q|:|△PP'R|=1+t:1
だから
|△AP'Q|:|△PP'R|=2(1+t):1
だから
|△PP'R|=[1/{2(1+t)}]|△AP'Q|
だから
|□APRQ|
=|△AP'Q|-|△PP'R|
=|△AP'Q|-[1/{2(1+t)}]|△AP'Q|
=[(2t+1)/{2(1+t)}]|△AP'Q|

|△AP'Q|
=(1/2)|AP'||AQ|sin∠PAQ
=|AP||AQ|sin∠PAQ
=√[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]

△OABは辺長1の正3角形で
APはAからOBへの垂直2等分線だから
|AP|=(√3)/2
|AP|^2=3/4

△OADは辺長1の正3角形で
∠AOQ=∠AOD=60°
|OA|=1
|OQ|=t|OD|
だから
|AQ|^2
=|OA|^2+|OQ|^2-2|OA||OQ|cos∠AOQ
=t^2-t+1
だから
|AP|^2|AQ|^2=3(t^2-t+1)/4

(AP,AQ)
=((1/2)OB-OA,tOD-OA)
=(t/2)(OB,OD)-t(OA,OD)-(1/2)(OB,OA)+|OA|^2
=(t/2)|OB||OD|cos∠BOD-t|OA||OD|cos∠AOD-(1/2)|OB||OA|cos∠AOB+1
=(t/2)|OB||OD|cos90°-t|OA||OD|cos60°-(1/2)|OB||OA|cos60°+1
=-(t/2)-(1/4)+1
=3/4-t/2
=(3-2t)/4
だから
(AP,AQ)^2=(3-2t)^2/16=(4t^2-12t+9)/16
だから
|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2
=3(t^2-t+1)/4-(4t^2-12t+9)/16
=(8t^2+3)/16

|△AP'Q|
=√[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]
={√(8t^2+3)}/4

|□APRQ|
=[(2t+1)/{2(1+t)}]|△AP'Q|
=[(2t+1)/{2(1+t)}]√[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]
=[(2t+1)√(8t^2+3)]/{8(1+t)}

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■48894 / inTopicNo.7)

　Re[1]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ コルム一般人(7回)-(2018/11/17(Sat) 20:58:30)

ありがとうございます。
（２）の解き方２を次の5つを使って示していただきたいのですが。本当にすみません。
次の5つを示してください

①（一般論）△ABCの面積をAB↑、AC↑で計算する式

②（この問題について）AQ↑、AP↑を
HA↑=a↑、HB↑=b↑、HO↑=o↑を使って表した式
点Hを正方形ABCDの対角線の交点として

③（この問題）点Rは線分QP'をどのように内分しているか
点P'はAP'↑=2*AP↑を満たす点として

④（この問題）△AP'Qの面積をSとしたときの△PP'Rの面積、四角形APRQの面積を表す式（Sとtで）

⑤（この問題）(1)の答
教えていただけると幸いです。

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■48895 / inTopicNo.8)

　Re[2]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ 菩菩紙御炉一般人(1回)-(2018/11/17(Sat) 22:01:02)

■No48894に返信(コルムさんの記事)
> ありがとうございます。
> （２）の解き方２を次の5つを使って示していただきたいのですが。本当にすみません。
> 次の5つを示してください
>
> ①（一般論）△ABCの面積をAB↑、AC↑で計算する式
>
> ②（この問題について）AQ↑、AP↑を
> HA↑=a↑、HB↑=b↑、HO↑=o↑を使って表した式
> 点Hを正方形ABCDの対角線の交点として
>
> ③（この問題）点Rは線分QP'をどのように内分しているか
> 点P'はAP'↑=2*AP↑を満たす点として
>
> ④（この問題）△AP'Qの面積をSとしたときの△PP'Rの面積、四角形APRQの面積を表す式（Sとtで）
>
> ⑤（この問題）(1)の答
> 教えていただけると幸いです。

いくら何でもこれは

ttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/10825711.html

で誠実に回答されている方に失礼だろう。

ttps://6900.teacup.com/cgu135/bbs

で 'ベクトルの割り算' でもしていてください（笑）

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■48908 / inTopicNo.9)

　Re[1]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ コルム一般人(8回)-(2018/11/22(Thu) 21:27:38)

教えていただけると幸いです。よくわからなくて。最初は、1/2｜↑AB ｜｜↑AC ｜sin θでしょうか？教えていただけると幸いです。

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■48910 / inTopicNo.10)

　Re[4]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ さまよえる日本人一般人(1回)-(2018/12/05(Wed) 13:40:50)

■No48891に返信(muturajcpさんの記事)
　質問者ではないですが、この問題気になっていました。計算過程が詳細なため、大変参考になりました。

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■48911 / inTopicNo.11)

　Re[2]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(18回)-(2018/12/09(Sun) 21:14:20)

①(一般論)△ABCの面積をAB↑,AC↑で計算する式
|△ABC|
=(1/2)|AB↑||AC↑|sin∠CAB
=(1/2)√[|AB↑|^2|AC↑|^2-(AB↑,AC↑)^2]

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■48912 / inTopicNo.12)

　Re[2]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(19回)-(2018/12/09(Sun) 22:12:34)

②
点Hを正方形ABCDの対角線の交点として
HA↑=a↑、HB↑=b↑、HO↑=o↑
とすると

AP↑
=OP-OA
=(1/2)OB-OA
=(1/2)HB-(1/2)HO-HA+HO
=(1/2)(HB+HO)-HA
=(1/2)(b↑+o↑)-a↑

HはBDの中点だから
(1/2)(OB+OD)=OH
OB+OD=2OH
OD=2OH-OB
OD=-HO-HB
だから

AQ↑
=tOD-OA
=-t(HO+HB)+HO-HA
=(1-t)HO-tHB-HA
=(1-t)o↑-tb↑-a↑

③点P'をAP'↑=2*AP↑を満たす点とすると
↑AR={t/(1+t)}↑AP'+{1/(1+t)}↑AQ
だから
点Rは線分P'Qを1:tに内分している

④
AP'=2APとなる点P'をとると
△AP'Qの面積をSとすると
|△AP'Q|:|△PP'Q|=2:1
|△PP'Q|:|△PP'R|=1+t:1
だから
|△AP'Q|:|△PP'R|=2(1+t):1
だから
|△PP'R|=[1/{2(1+t)}]|△AP'Q|
∴
|△PP'R|=S/{2(1+t)}
だから
|□APRQ|
=|△AP'Q|-|△PP'R|
=|△AP'Q|-[1/{2(1+t)}]|△AP'Q|
=[(2t+1)/{2(1+t)}]|△AP'Q|
∴
|□APRQ|=S(2t+1)/{2(1+t)}

⑤
|□APRQ|
=[(2t+1)/{2(1+t)}]√[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]
∴
|□APRQ|=[(2t+1)√(8t^2+3)]/{8(1+t)}

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■48913 / inTopicNo.13)

　Re[1]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ コルム一般人(9回)-(2018/12/11(Tue) 12:14:27)

どうしてそうなるのか教えていただけないでしょうか?
ここです。
③点P'をAP'↑=2*AP↑を満たす点とすると
↑AR={t/(1+t)}↑AP'+{1/(1+t)}↑AQ
だから
点Rは線分P'Qを1:tに内分している

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■48914 / inTopicNo.14)

　Re[1]: ベクトルについて。

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□投稿者/ コルム一般人(10回)-(2018/12/11(Tue) 17:50:08)

2が抜けているように思うのですが。教えていただけると幸いです。

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■48915 / inTopicNo.15)

　Re[2]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(20回)-(2018/12/15(Sat) 11:12:24)

Rは平面APQ上の点だから
↑AR=x↑AP+y↑AQ…(1)
となるx,yがある
PはOBの中点だから
↑AP=(1/2)(↑AO+↑AB)…(2)
QはODをt:(1-t)に内分する点だから
↑AQ=(1-t)↑AO+t↑AD
これと(2)を(1)に代入すると
↑AR=x(1/2)(↑AO+↑AB)+y{(1-t)↑AO+t↑AD}
↑AR=(x/2)(↑AO+↑AB)+(1-t)y↑AO+ty↑AD
↑AR=(x/2)↑AO+(x/2)↑AB+(1-t)y↑AO+ty↑AD
↑AR=(x/2)↑AO+(1-t)y↑AO+(x/2)↑AB+ty↑AD
↑AR={(x/2)+(1-t)y}↑AO+(x/2)↑AB+ty↑AD…(3)

Rは直線OC上の点だから
↑AR=(1-z)↑AO+z↑AC
となるzがある
↓↑AC=↑AB+↑ADだから
↑AR=(1-z)↑AO+z(↑AB+↑AD)
↑AR=(1-z)↑AO+z↑AB+z↑AD
これと(3)から
{(x/2)+(1-t)y}↑AO+(x/2)↑AB+ty↑AD=(1-z)↑AO+z↑AB+z↑AD
↑AO,↑AB,↑ADは1次独立だから
↑AOの係数が等しいから
(x/2)+(1-t)y=1-z…(4)
↑ABの係数が等しいから
x/2=z…(5)
↑ADの係数が等しいから
ty=z
これと(5)から
x/2=yt
↓両辺に2をかけると
x=2yt…(6)
(5)を(4)に代入すると
(x/2)+y(1-t)=1-x/2
↓両辺にx/2を加えると
x+y(1-t)=1
↓これに(6)を代入すると
2yt+y(1-t)=1
y(2t+1-t)=1
y(1+t)=1
↓両辺を1+tで割ると
y=1/(1+t)…(7)
↓これを(6)に代入すると
x=2t/(1+t)
これと(7)を(1)に代入すると
∴
↑AR={2t/(1+t)}↑AP+{1/(1+t)}↑AQ
↑AR={t/(1+t)}(2↑AP)+{1/(1+t)}↑AQ
↓これに↑AP'=2↑APを代入すると
∴
↑AR={t/(1+t)}↑AP'+{1/(1+t)}↑AQ

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■48916 / inTopicNo.16)

　Re[2]: ベクトルについて。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(21回)-(2018/12/15(Sat) 21:51:28)

(1)の答えの
↑AR={2t/(1+t)}↑AP+{1/(1+t)}↑AQ
に
↑AP'=2↑AP
を代入すると
↑AR={t/(1+t)}↑AP'+{1/(1+t)}↑AQ
となるので
点Rは線分P'Qを1:tに内分している

1000×1000 => 250×250