 | (x1,y1,z1)を通り方向余弦が(λ,μ,ν)の直線の方程式は
(x(t),y(t),z(t))=(x1,y1,z1)+t(λ,μ,ν)
となる
弦の端点は直線と楕円との交点だから
この点座標のtを求める2次方程式の2つの解を
t1,t2とすると
弦の始点座標は
(x(t1),y(t1),z(t1))=(x1,y1,z1)+t1(λ,μ,ν)
弦の終点座標は
(x(t2),y(t2),z(t2))=(x1,y1,z1)+t2(λ,μ,ν)
だから
弦の中点座標は
({x(t1)+x(t2)}/2,{y(t1)+y(t2)}/2,{z(t1)+z(t2)}/2)
=(x1,y1,z1)+{(t1+t2)/2}(λ,μ,ν)
↓(x1,y1,z1)は弦の中点だから
=(x1,y1,z1)
↓
(x1,y1,z1)+{(t1+t2)/2}(λ,μ,ν)=(x1,y1,z1)
↓両辺から(x1,y1,z1)を引くと
{(t1+t2)/2}(λ,μ,ν)=(0,0,0)
↓両辺に2をかけると
(t1+t2)(λ,μ,ν)=(0,0,0)
(t1+t2)λ=(t1+t2)μ=(t1+t2)ν=0
(t1+t2)λ^2=(t1+t2)μ^2=(t1+t2)ν^2=0
(t1+t2)(λ^2+μ^2+ν^2)=0
↓λ^2+μ^2+ν^2>0だから両辺をλ^2+μ^2+ν^2で割ると
∴
t1+t2=0
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