 | (2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)=kとおく。
もしk=0とすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり
分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので
k≠0,x≠1/2,y≠1/2,z≠1/2
k(x-y)=2x-1から y=((k-2)x+1)/k … (1)
k(y-z)=2y-1から z=((k-2)y+1)/k … (2)
k(z-x)=2z-1から x=((k-2)z+1)/k … (3)
(1)を(2)に代入して整理すると
z=(((k-2)^2)x+2k-2)/k^2 … (4)
(4)を(3)に代入して整理すると
(3k^2-6k+4)(2x-1)=0
x≠1/2なので 3k^2-6k+4=0
これを解いてk=1±i/√3
x,y,zが全て実数のときkは実数となるので、
k=1±i/√3であることからx,y,zのうち少なくとも一つは虚数。
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