 | x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の時
0≦x/(2π)<1
0≦y/(2π)<1
0≦z/(2π)<1
↓
Q=(全有理数)
Z=(全整数)
N=(全自然数)
f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)
lim_{n→∞}f(n)=α
{x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q
とすると
x/(2π)=u/a
y/(2π)=v/b
z/(2π)=w/c
{a,b,c}⊂N
{u,v,w}⊂Z
となるa,b,c,u,v,wがある
ax=2uπ
by=2vπ
cz=2wπ
だから
n∈Nに対して
k(n)=abcn
とすると
lim_{n→∞}f(k(n))
=lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z)
=lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz)
=lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ)
=3
{f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから
部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから
{f(n)}も3に収束しなければならないから
α=3
lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3
n∈Nに対して
m(n)=abcn+1
とすると
lim_{n→∞}f(m(n))
=lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z)
=lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z)
=lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z)
=cos(x)+cos(y)+cos(z)
↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから
↓{f(n))}が3に収束するのだから
↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから
=3
∴
cos(x)+cos(y)+cos(z)=3
↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから
cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1
↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから
x=y=z=0
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