数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 三次方程式 / Page: 0]

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■48827 / inTopicNo.1)

　三次方程式

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□投稿者/ 大阪なほみ一般人(2回)-(2018/09/22(Sat) 16:04:38)

実数a,b,cが0＜a＜c＜b＜1を満たすとき、
x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=0
の解は全て絶対値が2以下であることを示せ。

教えて下さい。よろしくお願いします。

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■48828 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三次方程式

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□投稿者/ らすかる一般人(15回)-(2018/09/22(Sat) 18:19:08)

x＞2のとき
x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x-2)(x^2+x-1)+(x^2-2)(1-a)+b(x-1)+(b-c)＞0
x＜-2のとき
x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x+2){x^2+(1-x)}-(x+1)^2-ax^2+bx-(c-a)-(1-a)＜0
∴解の絶対値は2以下

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■48829 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 三次方程式

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□投稿者/ 大阪なほみ一般人(3回)-(2018/09/22(Sat) 20:07:36)

ひとつ質問よろしいでしょうか。
虚数解をもつことはないのでしょうか？

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■48831 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 三次方程式

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□投稿者/ らすかる一般人(16回)-(2018/09/22(Sat) 23:28:17)

ごめんなさい、勝手に実数範囲と思い込んでいました。
でも虚数解を持つかどうか調べたところ、
この方程式はたまたま全ての解が実数ですので
（そのことを示す必要はありますが）大丈夫でした。

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■48836 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 三次方程式

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□投稿者/ らすかる一般人(21回)-(2018/09/23(Sun) 07:31:02)

解答を以下のように訂正します。

f(x)=x^3-ax^2+(b-3)x+2a-cとすると
f(-2)=-(2a+2b+c+2)＜0
f(-1)=a+(1-b)+(1-c)＞0
f(1)=-{(1-a)+(1-b)+c}＜0
f(2)=2(1-a)+(b-c)+b＞0
なので、f(x)=0は(-2,-1),(-1,1),(1,2)の各区間内に実数解を一つずつ持つ。
従ってf(x)=0の解は全て絶対値が2以下。

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■48837 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 三次方程式

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□投稿者/ 大阪なほみ一般人(4回)-(2018/09/23(Sun) 11:36:47)

ありがとうございます！！
こうやれば良かったんですね。
非常に爽快な解法を教えていただき
大変勉強になりました。

解決済み!

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