 | 4点O(0,0,0),A(1,2,4),B(4,-1,3),C(-2,1,7)がある.
このとき
(1)線分BCをa:1-aに内分する点をDとする.
ただし、0<a<1である.
D
=(1-a)B+aC
=(1-a)(4,-1,3)+a(-2,1,7)
=(4-6a,2a-1,4a+3)
(2)点Aを通り、ベクトルn↑＝(-3,1,2)に垂直な平面をαとする.
①平面αと線分BCの交点をD=(x,y,z)とすると
Dは平面α上の点だから
(D-A,n↑)=0
((x,y,z)-(1,2,4),(-3,1,2))=0
-3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0
Dは線分BC上の点だから(1)から
(x,y,z)=D=(4-6a,2a-1,4a+3)
x=4-6a
y=2a-1
z=4a+3
だからこれを-3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0に代入すると
-3(4-6a-1)+(2a-1-2)+2(4a+3-4)=0
-3(3-6a)+2a-3+2(4a-1)=0
-9+18a+2a-3+8a-2=0
28a-14=0
2a-1=0
2a=1
a=1/2
これを(x,y,z)に代入すると
x=4-6/2=1
y=2/2-1=0
z=4/2+3=5
∴平面αと線分BCの交点は
(1,0,5)
②四面体OABCの体積をVとする.
四面体OABCは平面αにより2つの立体に分けられ
そのうち点Cを含む立体の体積をV1とする.
平面αと線分OCの交点をE=(x,y,z)とすると
OC上の点だから
(x,y,z)=tC,0<t<1となるtがあるから
(x,y,z)=t(-2,1,7)=(-2t,t,7t)
平面α上の点だから
これを-3(x-1)+(y-2)+2(z-4)=0に代入すると
-3(-2t-1)+t-2+2(7t-4)=0
6t+3+t-2+14t-8=0
21t-7=0
3t-1=0
3t=1
t=1/3
E=(x,y,z)=(-2/3,1/3,7/3)
OE=(1/3)OC
CE=(2/3)CO
CD=(1/2)CB
だから
|△CDE|=(1/2)|CD||CE|sin∠BCO
|△BCO|=(1/2)|BC||CO|sin∠BCO
だから
|△CDE|/|△BCO|
=(|CD|/|BC|)(|CE|/|CO|)
=(1/2)(2/3)
=1/3
V1=|CADE|
の底面は△CDE,高さはAと面BCOの距離
で
V=|OABC|
の底面は△BCO,高さはAと面BCOの距離
だから
V1/V
=|△CDE|/|△BCO|
=1/3
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