 | 与不等式の左辺はx=πに関して対称なので、0＜x≦πに関して示せば十分。
0＜x≦π/2のとき
sinx＞x-x^3/6=(-x^3+6x)/6
cosx＜1-x^2/2+x^4/24=(x^4-12x^2+24)/24
2sin(x/2)＜xから
log(2sin(x/2))＜logx＜(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3
=(2x^3-9x^2+18x-11)/6
なので
(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
＞(3-x)(-x^3+6x)/6-2(x^4-12x^2+24)/24・(2x^3-9x^2+18x-11)/6
=(-2x^7+9x^6+6x^5-85x^4+132x^3+12x^2-216x+264)/72
=(2t^7+129xt^5+(783x^3+4796)t^2+3(5x+36)t^3+17654t+41984)/157464+1
＞1 （ただしt=5-3x＞0）
π/2≦x≦πのときy=π-xとおくと0≦y≦π/2で
(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
=ysin(π-y)-2(cos(π-y))log(2sin((π-y)/2))
=ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
siny＞y-y^3/6=(-y^3+6y)/6
cosy＞1-y^2/2=(-y^2+2)/2
2cos(y/2)＞(16-3y)/8から
log(2cos(y/2))＞log((16-3y)/8)＞(8-3y)/8-((8-3y)/8)^2/2
=(-9y^2+64)/128
なので
ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
＞y(-y^3+6y)/6+2(-y^2+2)/2・(-9y^2+64)/128
=(-37y^4+138y^2+384)/384
=y^2(138-37y^2)/384+1
≧1
∴(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))≧1
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