 | 正しいです。
tはn^3・2^kと表せない自然数とします。
このとき、2^(1/3)+t^(1/3)は整数係数9次方程式
x^9-3(t+2)x^6+3(t^2-14t+4)x^3-(t+2)^3=0の解です。
この式の左辺はω=(-1+i√3)/2として
(a)=x-2^(1/3)-t^(1/3)
(b)=x-2^(1/3)ω-t^(1/3)ω^2
(c)=x-2^(1/3)ω^2-t^(1/3)ω
(d)=x-2^(1/3)-t^(1/3)ω
(e)=x-2^(1/3)ω-t^(1/3)
(f)=x-2^(1/3)ω^2-t^(1/3)ω^2
(g)=x-2^(1/3)-t^(1/3)ω^2
(h)=x-2^(1/3)ω-t^(1/3)ω
(i)=x-2^(1/3)ω^2-t^(1/3)
の9個の式の積になっています。
2^(1/3)+t^(1/3)が整数係数三次方程式の解ならば、
上の9個の式で(b)〜(i)のうち二つと(a)を掛け合わせて
整数係数の多項式にならなければなりません。
組み合わせ28通りについて全部調べてみると、
28通りのうち積の定数項が実数になるものは
(a)(b)(c), (a)(d)(g), (a)(e)(i), (a)(f)(h)の4組
（このとき全係数が実数になります）となります。しかし
(a)(b)(c)は一次の係数が-3(2t)^(1/3)
(a)(d)(g)は二次の係数が-3・2^(1/3)
(a)(e)(i)は二次の係数が-3・t^(1/3)
(a)(f)(h)は定数項が-{2^(1/3)+t^(1/3)}^3
なので、いずれも整数係数になりません。
よって2^(1/3)+t^(1/3)が整数係数三次方程式の解になることはありません。
従って、2^(1/3)+a^(1/3)が整数係数三次方程式の解になるならば、
aはn^3・2^kと表せることになります。
# a=n^3のとき(a)(e)(i)の形の三次方程式、
# a=2n^3のとき(a)(f)(h)の形の三次方程式、
# a=4n^3のとき(a)(b)(c)の形の三次方程式になります。
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