 | 数列 {a(n)}
a(0) = a > 0
a(n+1) = 1/2 (a(n) + a/a(n))
は収束する。
(証明)
[1]
もし、仮に数列が収束したら、いくつに収束するでしょう？
極限値を x と置けば a(n+1) = 1/2 (a(n) + a/a(n)) から
x = 1/2 (x + a/x) すなわち x^2 = a が成り立つはずです。
また、漸化式から a(n) > 0, n ∈ N なので x = √a と
予想できます。
しかし問題は収束するか否かです。色々判定法がありますが
「a(n+1)/a(n) < 1」を示す方法を試してみましょう(実は
めちゃくちゃ試行錯誤しました。修行が足りぬ...)
[2]
漸化式から a(n+1)/a(n) = 1/2 (1 + a / a(n)^2) なので
もし、a(n) > √a, n ∈ N ならば
a(n+1)/a(n) < 1/2 (1 + a / (√a)^2) = 1 ･･･ (*)
(n ∈ N) となります。しかし、この夢はもろくも a = 1
のとき a(n+1)/a(n) = 1 となり崩れます。でも待てよ...
このとき a(n) = 1, n ∈ N で収束することが分かります。
[3]
したがって a ≠ 1 の場合を調べます。帰納法を使います。
a(1) = 1/2 (a + 1) > √a です ( 1/2 (a + 1) は √a の
a = 1 での接線)。ここで a(n) > √a と仮定します。
漸化式から a(n+1) - √a を削りだすと
2 a(n+1) a(n) - a(n)^2 - a = 0
2 a(n) (a(n+1) - √a) + 2 a(n) √a - a(n)^2 - (√a)^2 = 0
a(n+1) - √a = (a(n) - √a)^2 / {2 a(n)} > 0
したがって a(n+1) > √a です。よって a(n) > √a, n ∈ N です。
以上から (*) を用いれば、a(n) は下に有界な単調減少数列
となり収束します。///
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