 | 四面体OABCがあり,|OA|=|OB|=|OC|=1,∠AOB=π/3,OA⊥BC,OB⊥ACである.
また,OA=a,OB=b,OC=cとし,
OD=a+b,OE=b+c,OP=2a,OQ=(3/2)b,
OR=(6/5)cで定まる5つの点D,E,P,Q,Rをとる.
(1)
a・b
=|a||b|cos∠AOB
=cosπ/3
=1/2
OB⊥ACだから
b・(c-a)=0
(b・c)-(a・b)=0
b・c=a・b=1/2
OA⊥BCだから
(c-b)・a=0
(c・a)-(a・b)=0
c・a=a・b=1/2
(2)
0<s<1,s≠3/4
線分ADをs:(1-s)に内分する点をX,
線分CEを(1-s):sに内分する点をYとし,
0<t<1
線分XYをt:(1-t)に内分する点をZとする.
X
=(1-s)A+sD
=(1-s)a+s(a+b)
=(1-s+s)a+sb
=a+sb
Y
=sC+(1-s)E
=sc+(1-s)(b+c)
=(1-s+s)c+(1-s)b
=c+(1-s)b
OZ
=(1-t)X+tY
=(1-t)(a+sb)+t{c+(1-s)b}
=(1-t)a+(s+t-2st)b+tc
点Zが平面PQR上にあるとき
OZ=(1-x-y)P+xQ+yR
となるx,yがある
P=2a,Q=(3/2)b,R=(6/5)cだから
OZ
=2(1-x-y)a+(3x/2)b+(6y/5)c
=(1-t)a+(s+t-2st)b+tc
=(1-t)a+(3x/2)b+tc
だから
2(1-x-y)=1-t
3x/2=s+t-2st
6y/5=t
6y=5t
6x=4(s+t-2st)
6(1-x-y)=3(1-t)
6=5t+4(s+t-2st)+3(1-t)
3=6t+4s-8st
8st-6t-4s+3=0
2t(4s-3)-4s+3=0
(2t-1)(4s-3)=0
s≠3/4だから4s-3≠0だから
4s-3で両辺を割ると
2t-1=0
2t=1
t=1/2
↓これを6y=5tに代入すると
6y=5/2
y=5/12
↓これとt=1/2を2(1-x-y)=1-tに代入すると
7/6-2x=1/2
2/3=7/6-1/2=2x
x=1/3
↓これとt=1/2をOZ=(1-t)a+(3x/2)b+tcに代入すると
∴
OZ=(1/2)a+(1/2)b+(1/2)c
(3)
点KをOK=ka(kは実数で定まる点とする.
(2)の点Zが平面PQR上にあるとき,
直線ZKが平面OBCに垂直となるとき
ZKとOBは垂直だから
ZK・OB=0
=(ka-(a+b+c)/2)・b=0
=k(a・b)-{(a・b)+|b|^2+(c・b)}/2=0
={(2k-1)(a・b)-|b|^2-(c・b)}/2=0
=
{(2k-1)/2-1-1/2}/2=0
2k-1-2-1=0
2k=4
k=2
ZKとOBは垂直だから
ZK・OC
=(ka-(a+b+c)/2)・c=0
=k(a・c)-{(a・c)+(b・c)+|c|^2}/2=0
={(2k-1)(a・c)-(b・c)-|c|^2}/2=0
=
{(2k-1)/2-1/2-1}/2=0
2k-1-1-2=0
2k=4
k=2
だから
k=2
の時ZKはOBとOCの両方に垂直だから平面OBCに垂直となる
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