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■48496 / inTopicNo.1)

　広義積分の質問

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□投稿者/ こいち一般人(1回)-(2018/07/28(Sat) 12:04:12)

∫(積分区間0→∞){e^(-ax)}sin(bx)dx
の解き方を教えてください。

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■48500 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 広義積分の質問

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□投稿者/ らすかる一般人(22回)-(2018/07/28(Sat) 14:40:35)

a≠0かつb≠0のとき
∫e^(-ax)・sin(bx)dx
=e^(-ax)/(-a)・sin(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・bcos(bx)dx
=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a)∫e^(-ax)・cos(bx)dx
=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){e^(-ax)/(-a)・cos(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・(-b)sin(bx)dx}
=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){-{e^(-ax)・cos(bx)}/a-(b/a)∫e^(-ax)sin(bx)dx}
=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2-(b^2/a^2)∫e^(-ax)sin(bx)dx
なので
(1+b^2/a^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2+C1
(a^2+b^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}+C1
∴∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)+C2
従って
b=0のとき
(与式)=∫[0～∞]0dx=0
b≠0,a=0のとき
(与式)=∫[0～∞]sin(bx)dx=[-cos(bx)/b][0～∞]は発散
b≠0,a＜0のとき
(与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0～∞]は発散
b≠0,a＞0のとき
(与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0～∞]=b/(a^2+b^2)

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■48501 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 広義積分の質問

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□投稿者/ こいち一般人(3回)-(2018/07/28(Sat) 15:11:29)

b≠0,a＞0のとき
(与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0～∞]=b/(a^2+b^2)
の部分がどうしてこうなるのか詳しく教えていただきたいです。すみません。

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■48503 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 広義積分の質問

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□投稿者/ らすかる一般人(23回)-(2018/07/28(Sat) 15:43:24)

a＞0,x→∞のとき e^(-ax)→0,|asin(bx)|≦a,|bcos(bx)|≦|b|なので
lim[x→∞]-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=0
x=0のとき
e^(-ax)=1, asin(bx)=0, bcos(bx)=bなので
x=0のとき-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=-b/(a^2+b^2)
よって(与式)=0-(-b/(a^2+b^2))=b/(a^2+b^2)

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■48506 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 広義積分の質問

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□投稿者/ こいち一般人(9回)-(2018/07/28(Sat) 16:13:17)

解くことができました。ありがとうございました！

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