 | 2018/07/13(Fri) 20:17:10 編集(投稿者)
# 成り立つことの証明だけなら右辺を微分してみれば良いと思いますが。
# 蛇足ですが、左辺の不定積分の計算方法は以下の通りです。
べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
t = x+√(x^2+a)
とおけば
⇒ (t-x)^2 = x^2+a
⇒ t^2-2tx = a
⇒ (t^2-a)/(2t) = (1/2)(t-a/t) = x
⇒ dx = (1/2)(1+a/(t^2))dt
また
√(x^2+a) = t-x = t-(1/2)(t-a/t) = (1/2)(t+a/t)
問題の不定積分をIとおくと、
I = ∫√(x^2+a)dx
= ∫(1/2)(t+a/t)(1/2)(1+a/(t^2))dt
= (1/4)∫{t+2a/t+(a^2)/(t^3)}dt
= (1/4){(t^2)/2+2a*log(t)-(a^2)/(2(t^2))}+C
ここで
t^2 = {x+√(x^2+a)}^2 = x^2+2x√(x^2+a)+(x^2+a) = 2(x^2)+a+2x√(x^2+a)
1/(t^2) = {2(x^2)+a-2x√(x^2+a)}/{{2(x^2)+a+2x√(x^2+a)}{2(x^2)+a-2x√(x^2+a)}}
= {2(x^2)+a-2x√(x^2+a)}/{{2(x^2)+a}^2-{2x√(x^2+a)}^2}
= {2(x^2)+a-2x√(x^2+a)}/{4(x^4)+4a(x^2)+a^2-4(x^2)(x^2+a)}
= {2(x^2)+a-2x√(x^2+a)}/{a^2}
よって、
I = (1/4){{2(x^2)+a+2x√(x^2+a)}/2+2a*log(t)-(a^2){{2(x^2)+a-2x√(x^2+a)}/{a^2}}/2}+C
= (1/4){(x^2)+a/2+x√(x^2+a)+2a*log(t)-{(x^2)+a/2-x√(x^2+a)}}+C
= (1/4){2x√(x^2+a)+2a*log(t)}+C
= (1/2){x√(x^2+a)+a*log(x+√(x^2+a))}+C
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