 | x,yを実数
z=x+iy…(1)
とする
zが虚数で
cos(z)=0
と仮定すると
cos(z)
=(e^{iz}+e^{-iz})/2
=(e^{i(x+iy)}+e^{-i(x+iy)})/2
=(e^{ix-y}+e^{-ix+y})/2
=(e^{ix}e^{-y}+e^{-ix}e^y)/2
=[e^{-y}(cosx+isinx)+e^y(cosx-isinx)]/2
=[(e^{-y}+e^y)cosx+i(e^{-y}-e^y)sinx]/2
=0
cos(z)の実数部=0だから
(e^{-y}+e^y)cosx=0…(2)
cos(z)の虚数部=0だから
(e^{-y}-e^y)sinx=0…(3)
e^{-y}+e^y>0
だから(2)の両辺をe^{-y}+e-yで割ると
cosx=0
だから
x=2nπ±π/2…(4)
これを(2)に代入すると
(e^{-y}-e^y)sin(2nπ±π/2)=0
↓sin(2nπ±π/2)=±1だから両辺をsin(2nπ±π/2)で割ると
e^{-y}-e^y=0
両辺にe^yを加えると
e^{-y}=e^y
両辺にe^yをかけると
1=e^{2y}
両辺のlogをとると
0=log1=2y
左右を入れ替えると
2y=0
両辺を2で割ると
y=0
これを(1)に代入すると
z=x
だから
zは実数であるから
zが虚数である事に矛盾するから
cos(z)≠0
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