| |OA|=3 |OB|=1 ∠AOB=120°である三角形OABにおいて 線分OAを1:4に内分する点をCとすると OC=(1/5)OA 線分OBを3:2に内分する点をDとすると OD=(3/5)OB だから ↑CD=OD-OC=(-1/5)↑OA+(3/5)↑OB 線分ABをt:1-tに内分する点をEとすると OE=(1-t)OA+tOB OC=(1/5)OA だから ↑CE=OE-OC=(1-t)OA+tOB-(1/5)OA=(4/5-t)↑OA+t↑OB |OA|=3 |OB|=1 ∠AOB=120° だから ↑OA・↑OB=|OA||OB|cos∠AOB=3cos120°=-3/2 ∠DCE=90°とする場合、 ↑CD・↑CE=0 ↑CD=(-1/5)↑OA+(3/5)↑OB ↑CE=(4/5-t)↑OA+t↑OB だから ↑CD・↑CE ={(-1/5)↑OA+(3/5)↑OB}・{(4/5-t)↑OA+t↑OB} =(-1/5)(4/5-t)|OA|^2+{(-t/5)+(3/5)(4/5-t)}(↑OA・↑OB)+(3t/5)|OB|^2 = (-9/5)(4/5-t)+(-3/2){(-t/5)+(3/5)(4/5-t)}+(3t/5)=0 -9(4/5-t)+(-3/2){-t+3(4/5-t)}+3t=0 -9(4-5t)+(-3/2){-5t+3(4-5t)}+15t=0 -3(4-5t)-(6-10t)+5t=0 -12+15t-6+10t+5t=0 30t-18=0 5t-3=0 5t=3 t=3/5となる さらに、三角形CDEの外接円と線分ABの2交点のうちEでないほうをF とし、 AF:FB=u:1-uとすると、 OF=(1-u)OA+uOB ∠DFE=90° DF⊥BA だから ↑DF・↑BA=(↑OF-↑OD)・(↑OA-↑OB)=0 {(1-u)↑OA+u↑OB-(3/5)↑OB}・(↑OA-↑OB)=0 {(1-u)OA+(u-3/5)OB}・(OA-OB)=0 (1-u)|OA|^2+(u-3/5-1+u)(OA・OB)-(u-3/5)|OB|^2=0 (1-u)|OA|^2+(2u-8/5)(OA・OB)-(u-3/5)|OB|^2=0 9(1-u)+(-3/2)(2u-8/5)-(u-3/5)=0 9-9u-3u+12/5-u+3/5=0 12-13u=0 12=13u u=12/13 となる。 また、線分CDと線分OFの交点をGとすると、 OG=xOF=(1-y)OC+yOD OF=(1/13)OA+(12/13)OB OC=(1/5)OA OD=(3/5)OB (x/13)OA+(12x/13)OB={(1-y)/5}OA+(3y/5)OB {(x/13)+(y-1)/5}OA+{(12x/13)-(3y/5)}OB=0 (x/13)+(y/5)-(1/5)=0 (12x/13)-(3y/5)=0 (4x/13)-(y/5)=0 (5x/13)-(1/5)=0 5x/13=1/5 x=13/25 OG=(13/25)OF=(13/25)(OG+GF) (12/25)OG=(13/25)GF 12OG=13GF 12|OG|=13|GF| ∴ |OG|/|GF|=13/12 と書ける。
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