数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 有理数と整数 / Page: 0]

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■48389 / inTopicNo.1)

　有理数と整数

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□投稿者/ 依存症一般人(1回)-(2017/12/18(Mon) 23:15:20)

a,b,c は相異なる有理数で a+b+c=0 をみたしている。
(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 が整数であるとき、
a/b + b/c + c/a が整数であることを示せ。

教えて下さい。よろしくお願いします。

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■48391 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 有理数と整数

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□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2017/12/19(Tue) 00:03:25)

(a/b+b/c+c/a)^2
=(a/b)^2+(b/c)^2+(c/a)^2+2(c/b+a/c+b/a)
=(a/b)^2+(b/c)^2+(c/a)^2+2(-(a+b)/b-(b+c)/c-(c+a)/a)
=(a/b)^2+(b/c)^2+(c/a)^2-2((a+b)/b+(b+c)/c+(c+a)/a)
=(a/b)^2+(b/c)^2+(c/a)^2-2(a/b+b/c+c/a+3)
なので
(a/b)^2+(b/c)^2+(c/a)^2
=(a/b+b/c+c/a)^2+2(a/b+b/c+c/a+3)
={(a/b+b/c+c/a)+1}^2+5
もしa/b+b/c+c/aが整数でないとすると、
条件からa/b+b/c+c/aは有理数なので
(a/b+b/c+c/a)+1も整数でない有理数、
{(a/b+b/c+c/a)+1}^2+5も整数でない有理数。
従って問題の対偶の
「a/b+b/c+c/aが整数でない」⇒「(a/b)^2+(b/c)^2+(c/a)^2が整数でない」
が成り立つ。

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■48392 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 有理数と整数

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□投稿者/ 依存症一般人(2回)-(2017/12/19(Tue) 07:26:52)

大変よく分かりました。
有難うございます。

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