 | A=(0,0);
B=(3,0);
C=(1,2)
なる
△ABC について;
∠Aの2等分線とBCとの交点をD,
∠Aの外角の2等分線とBCの延長との交点をE とする。
cos∠A=1/√5
だから
∠Aの2等分線の傾きは
tan(∠A/2)
=sin(∠A/2)/cos(∠A/2)
=√[{1-cos(∠A)}/{1+cos(∠A)}]
=√[{1-1/√5}/{1+1/√5}]
=√[{(√5)-1}/(1+√5)]
=√[{{(√5)-1}^2}/4]
={(√5)-1}/2
∠Aの2等分線の式は
y={(√5)-1}x/2
BCの式は
y=3-x
交点D(x,y)は
{(√5)-1}x/2=3-x
(1+√5)x/2=3
x=3{(√5)-1}/2
y=3(3-√5)/2
だから
Dの座標は(3{(√5)-1}/2,3(3-√5)/2)で
∠Aの外角の2等分線の傾きは
tan{(π+∠A)/2}
=sin{(π+∠A)/2}/cos{(π+∠A)/2}
=-cos(∠A/2)/sin(∠A/2)
=-√[{1+cos(∠A)}/{1-cos(∠A)}]
=-√[{1+1/√5}/{1-1/√5}]
=-√[(1+√5)/{(√5)-1}]
=-√[{(1+√5)^2}/4]
=-(1+√5)/2
だから
∠Aの外角の2等分線の式は
y=-(1+√5)x/2
BCの式は
y=3-x
交点(x,y)は
-x(1+√5)/2=3-x
x(1-√5)/2=3
x=-3(1+√5)/2
y=3(3+√5)/2
だから
Eの座標は(-3(1+√5)/2,3(3+√5)/2)
DEの中点をOとする時,
D
=(3{(√5)-1}/2,3(3-√5)/2)
=3((√5)-1,3-√5)/2
E
=(-3(1+√5)/2,3(3+√5)/2)
=3(-1-√5,3+√5)/2
O
=(D+E)/2
={3((√5)-1,3-√5)/2+3(-1-√5,3+√5)/2}/2
=3{((√5)-1,3-√5)+(-1-√5,3+√5)}/4
=3(-2,6)/4
=3(-1,3)/2
=(-3/2,9/2)
Oの座標は(-3/2,9/2)である.
(1)
|OB|
=|(3,0)-(-3/2,9/2)|
=3|(2,0)-(-1,3)|/2
=3|(3,-3)|/2
=9|(1,-1)|/2
=(9√2)/2
|OC|
=|(1,2)-(-3/2,9/2)|
=|(2,4)-(-3,9)|/2
=|(5,-5)|/2
=5|(1,-1)|/2
=(5√2)/2
|OD|^2
=|D-O|^2
=|3((√5)-1,3-√5)/2-(-3/2,9/2)|^2
=9(|((√5)-1,3-√5)-(-1,3)|^2)/4
=9(|(√5,-√5)|^2)/4
=45(|(1,-1)|^2)/4
=45*2/4
=45/2
|OB||OC|={(9√2)/2}(5√2)/2
=45/2=|OD|^2
∴
|OB||OC|=|OD|^2
(2)
|AB|^2:|AC|^2
=|(3,0)|^2:|(1,2)|^2
=9:5
|OB|:|OC|
=(9√2)/2:(5√2)/2
=9:5
=|AB|^2:|AC|^2
∴
|OB|:|OC|=|AB|^2:|AC|^2
|