 | z=r(cosθ+isinθ), c=a+biとおいて
z+1/z=cに代入して整理すると
(r+1/r)cosθ+(r-1/r)isinθ=a+bi
∴(r+1/r)cosθ=aかつ(r-1/r)sinθ=b
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1を使ってsinθ,cosθを消去すると
{a/(r+1/r)}^2+{b/(r-1/r)}^2=1
整理して
r^8-(a^2+b^2)r^6+(2a^2-2b^2-2)r^4-(a^2+b^2)r^2+1=0 … (1)
問題の条件を満たすためには、
(1)の実数解が(あれば)r=±1のみでなければならない。
(1)の左辺は
(r^2-1)^2・(r^4-(a^2+b^2-2)r^2+1)-4b^2r^4
と変形でき、b≠0ならばr=0のとき正、r=1のとき負となるので
0＜r＜1である実数解を持つ。
従って実数解がr=±1のみであるためにはb=0でなければならない。
(1)でb=0として整理すると
(r^2-1)^2・(r^4-(a^2-2)r^2+1)=0
(r^2-1)^2=0の解はr=±1なので
r^4-(a^2-2)r^2+1=0が実数解を持たないか、
あるいは実数解を持つ場合はr=±1となればよい。
実数解を持たない条件は
x^2-(a^2-2)x+1=0が実数解を持たない
→ 判別式D=(a^2-2)^2-4＜0 → -2＜a＜2かつa≠0
または
x^2-(a^2-2)x+1=0が負の実数解のみを持つ
→ 軸(a^2-2)/2＜0かつ判別式≧0(かつy切片＞0) → a=0
実数解を持つ場合は
r=±1を代入するとa=±2となり、
逆にa=±2ならばr=±1なので a=±2
これらをまとめると -2≦a≦2 となり、
b=0なので、条件を満たす複素数cは
-2≦c≦2を満たす実数。
# もっと簡潔な導き方がありそうな気がします。
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