 | 点Oを中心とする円に内接する△ABCがあり、
AB＝2、AC＝3、BC＝√7とする。
点Bを通り直線ACと平行な直線と円Oとの交点のうち点Bと異なる点をD、
直線AOと直線CDの交点をEとする。
|BC|^2
=|AC-AB|^2
=|AC|^2-2(AB・AC)+|AB|^2
(AB・AC)
=(|AC|^2+|AB|^2-|BC|^2)/2
=(9+4-7)/2
=3
(1)
内積
↑AB・↑AO=|AB||AO|cos∠BAO=|AB|^2/2=2
↑AC・↑AO=|AC||AO|cos∠CAO=|AC|^2/2=9/2
(2)
↑AO=x↑AB+y↑AC
とする
AB・AO
=AB・(xAB+yAC)
=x|AB|^2+y(AB・AC)
=4x+3y=2
AC・AO
=AC・(xAB+yAC)
=x(AC・AB)+y|AC|^2
=3x+9y=9/2
24x+18y=12
6x+18y=9
18x=3
x=1/6
2/3+3y=2
2+9y=6
9y=4
y=4/9
∴
↑AO=(1/6)↑AB+(4/9)↑AC
(3)
ACとBDは平行だから
t≠0
BD=tAC
となるtがあるから
AD=AB+BD=AB+tAC
OD=AD-AO=(5/6)AB+(t-4/9)AC
ODとAOは外接円の半径だから
|OD|=|AO|だから
|OD|^2-|AO|^2=0
=|(5/6)AB+(t-4/9)AC|^2-| (1/6)AB+(4/9)AC|^2=0
=
(25/36)|AB|^2+(5/3)(t-4/9)(AB・AC)+(t-4/9)^2|AC|^2
-(1/36)|AB|^2-(4/27)(AB・AC)-(16/81)|AC|^2
=
(25/9)+5(t-4/9)+9(t-4/9)^2-7/3=0
9t^2-3t=0
t(3t-1)=0
t≠0
3t-1=0
3t=1
t=1/3
∴
↑AD=↑AB+(1/3)↑AC
(4)
Eは直線AO上の点だから
AE=xAO
DE=yDC
となる実数x,yがある
AO=(1/6)AB+(4/9)AC
だから
AE=(x/6)AB+(4x/9)AC
AD=AB+(1/3)AC
だから
DC=AC-AD=AC-AB-(1/3)AC=(2/3)AC-AB
だから
DE
=AE-AD
=(x/6)AB+(4x/9)AC-AB-(1/3)AC
=
{(x/6)-1}AB+{(4x/9)-(1/3)}AC=yDC=y{(2/3)AC-AB}
だから
{(x/6)-1+y}AB+{(4x/9)-(1/3)-(2y/3)]AC=0
だから
(x/6)-1+y=0
(4x/9)-(1/3)-(2y/3)=0
だから
x-6+6y=0
4x-6y-3=0
だから
5x-9=0
5x=9
x=9/5
3/10-1+y=0
y=7/10
だから
AE=(9/5)AO
DE=(7/10)DC
だから
|DE|/|DC|=7/10
|DE|/(|DE|+|CE|)=7/10
10|DE|=7(|DE|+|CE|)
3|DE|=7|CE|
3/7=|CE|/|DE|
∴
CE:DE=3:7
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