 | 10)
全空間で定義されたベクトル場A=Axi+Ayj+Azkが∇×A=0をとする.
点P0(x0,y0,z0)を固定し
φ(x,y,z)=∫_{x0〜x}Ax(x,y,z)dx+∫_{y0〜y}Ay(x0,y,z)dy+∫_{z0〜z}Az(x0,y0,z)dz
とおけば
∇φ
=(∂φ/∂x,∂φ/∂y,∂φ/∂z)
=(Ax,Ay,Az)
=A
11)
全空間で定義されたベクトル場A=Axi+Ayj+Azkが∇・A=0を満足しているとする
点P0(x0,y0,z0)を固定し
Bx=∫_{z0〜z}Ay(x,y,z)dz
By=-∫_{z0〜z}Ax(x,y,z)dz+∫_{x0〜x}Az(x,y,z0)dx
Bz=0
とおき,B=Bxi+Byjとすれば
∂Bz/∂y-∂By/∂z
=-∂By/∂z
=-(∂/∂z){-∫_{z0〜z}Ax(x,y,z)dz}-(∂/∂z)∫_{x0〜x}Az(x,y,z0)dx
=(∂/∂z)∫_{z0〜z}Ax(x,y,z)dz
=Ax
∂Bx/∂z-∂Bz/∂x
=∂Bx/∂z
=(∂/∂z)∫_{z0〜z}Ay(x,y,z)dz
=Ay
∂By/∂x-∂Bx/∂y
=(∂/∂x){-∫_{z0〜z}Ax(x,y,z)dz+∫_{x0〜x}Az(x,y,z0)dx}-(∂/∂y)∫_{z0〜z}Ay(x,y,z)dz
=(∂/∂x){∫_{x0〜x}Az(x,y,z0)dx}
=Az
だから
∇×B
=(∂Bz/∂y-∂By/∂z,∂Bx/∂z-∂Bz/∂x,∂By/∂x-∂Bx/∂y)
=(Ax,Ay,Az)
=A
By の第一項がプラスの場合は
∇×B=(-Ax,Ay,Az)≠A
となるので
By の第一項はマイナスでなければ∇×B=Aが成立しません
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