数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 数列 / Page: 0]

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■48336 / inTopicNo.1)

　数列

□投稿者/ ダノッゾ一般人(1回)-(2017/08/28(Mon) 23:21:53)

a[0]=1, a[1]=1/6,
a[n+1]=(a[n]+a[n-1])/6

b[0]=2/3, b[1]=2/9,
b[n+1]=(b[n]+b[n-1])/6 + (2/3)*a[n+1]

b[n]をa[0]～a[n]で表してほしいです。
よろしくお願いします。

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■48337 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列

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□投稿者/ らすかる一般人(1回)-(2017/08/28(Mon) 23:40:51)

a[0]～a[n]は使いませんが
b[n]=2(4(5n+11)/(-3)^n+9(5n+9)/2^n)/375

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■48338 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列

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□投稿者/ ダノッゾ一般人(2回)-(2017/08/29(Tue) 18:58:48)

それは (2/3)∑[k=0,n]a[k]a[n-k] に等しいですか？

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■48339 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数列

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□投稿者/ らすかる一般人(2回)-(2017/08/29(Tue) 21:23:51)

はい、等しいです。

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■48340 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数列

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□投稿者/ ダノッゾ一般人(3回)-(2017/08/30(Wed) 10:09:03)

それは一般項を求めずに示すことはできるのでしょうか？

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■48341 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 数列

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□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2017/08/30(Wed) 11:06:43)

一般項を求めずに示す方法は思い付きません。私がもし
「上の条件のもとでb[n]=(2/3)Σ[k=0～n]a[k]a[n-k]であることを示せ」
という問題を解くとしたら、一般項を求めずに示す方法を考えるよりも
一般項を求めてしまった方が早そうなので、一般項を求めてから示します。
ただし、他に条件があったり誘導問題があったりすればこの限りではありません。
元の問題があるのでしたら、部分的に書くのではなく
そのまま書いて頂いた方がよいかと思います。

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■48342 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 数列

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□投稿者/ ダノッゾ一般人(4回)-(2017/08/30(Wed) 15:42:02)

座標平面で、点Pを次の規則で移動させていく。
----規則----
1個のさいころを振り、出る目の数をtとして、
t≦2ならばx軸の正方向にtだけ移動させ、
t≧3ならばy軸の正方向に1だけ移動させる。
------------
原点を出発したPが点(n,0)に到達する確率a[n]と、
点(n,1)に到達する確率b[n]を求めよ。

という問題の解説で、最後の行に補足的に
(なお、b[n]=(2/3)Σ[k=0～n]a[k]a[n-k])
とだけ書いてあるのでどうやって導き出されたのか知りたかったのです。

漸化式を使った解説なので漸化式から簡単に分かるのだろうと思ったのですが・・・

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■48343 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 数列

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□投稿者/ らすかる一般人(4回)-(2017/08/30(Wed) 18:14:05)

それは式の変形で出したものではないと思います。
（以下、簡単のため「x軸の正方向」を「右」、「y軸の正方向」を「上」と書きます。）
b[n]
=「右に0移動して上に1移動して右にn移動する確率」
+「右に1移動して上に1移動して右にn-1移動する確率」
+「右に2移動して上に1移動して右にn-2移動する確率」
+「右に3移動して上に1移動して右にn-3移動する確率」
+・・・
+「右にn移動して上に1移動して右に0移動する確率」
=a[0]・(2/3)・a[n]
+a[1]・(2/3)・a[n-1]
+a[2]・(2/3)・a[n-2]
+a[3]・(2/3)・a[n-3]
+・・・
+a[n]・(2/3)・a[0]
=(2/3)Σ[k=0～n]a[k]a[n-k]
となりますね。

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■48344 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 数列

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□投稿者/ ダノッゾ一般人(5回)-(2017/08/30(Wed) 19:40:58)

なんと、漸化式の変形ではなくて確率の話だったんですね。
読解力が足りなかったみたいです。
教えていただき有難うございました。

解決済み!

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