 | 2005/10/24(Mon) 10:47:12 編集(投稿者)
2005/10/24(Mon) 10:45:29 編集(投稿者)
条件より点Aを出発してt秒後の点PとQの座標は
P(cos(2πt/36),sin(2πt/36)),Q(cos(2πt/45),sin(-2πt/45)) (A)
となります。
(ⅰ)
条件から、△POQが直角三角形になる為には∠POQが直角になる以外にはありえません。
よって↑OP⊥↑OQですから
↑OP・↑OQ=0
∴(A)を用いると
cos(2πt/36)cos(2πt/45)-sin(2πt/36)sin(2πt/45)=0
これより
cos(πt/10)=0
∴πt/10=π/2+nπ (但しnは整数)
であるから
t=10n+5
よって△POQが初めて直角三角形になるのは5秒後です。
(ⅱ)
|↑OP|=|↑OQ|=1
に注意すると条件のとき
↑OP=-↑OQ
であるから(A)を用いて、成分を比較すると
cos(2πt/36)=-cos(2πt/45) (B)
sin(2πt/36)=sin(2πt/45) (C)
(B)より
cos(πt/20)cos(πt/180)=0
∴cos(πt/20)=0 or cos(πt/180)=0 (E)
(C)より
cos(πt/20)sin(πt/180)=0
∴cos(πt/20)=0 or sin(πt/180)=0 (F)
となりますが、
{sin(πt/180)}^2+{sin(πt/180)}^2=1
ですから(E)(F)を同時に満たす方程式は
cos(πt/20)=0 (G)
cos(πt/20)=0かつsin(πt/180)=0 (H)
cos(πt/20)=0かつcos(πt/180)=0 (I)
の三通りしかありません。
(G)のとき
πt/20=π/2+mπ (但しmは整数)
ですから
t=20m+10 (G)'
(H)のとき
sin(πt/180)=0より
πt/180=lπ (但しlは整数)
∴t=180l
これと
cos(πt/20)=0
つまり(G)'が同時に成立しなければならないので
180l=20m+10
∴18l=2m+1 (H)'
ところが(H)'の左辺は偶数、右辺は奇数になりますので(H)'を満たす整数lは存在しません。
よって(H)の解は存在しません。
(I)のとき
cos(πt/180)=0
より
πt/180=π/2+pπ (但しpは整数)
∴t=180p+90
これと
cos(πt/20)=0
つまり(G)'が同時に成立しなければならないので
180p+90=20m+10
∴m=9p+4
となり、整数pは存在することが分かります。
以上よりPQが直径になるようなtは
t=20m+10
よって条件を満たすのは20・1+10=30[秒後]です。
(ⅲ)
条件より△OPQが正三角形になるためには
↑OP・↑OQ=cos(π/3)=1/2
ですから(A)を用いると
cos(2πt/36)cos(2πt/45)-sin(2πt/36)sin(2πt/45)=1/2 (J)
これを点Pが円周上を一周する時間
0≦t≦36 (K)
の元で解いてみます。
(J)より
cos(πt/10)=1/2
∴πt/10=π/3+2lπ,5π/3+2lπ(但しlは整数)
∴t=10/3+20l,50/3+20l(L)
(L)を(J)に代入して
I)t=10/3+20lのとき
0≦10/3+20l≦36
∴-1/6≦l≦9/5-1/6
∴l=0,1
このときt=10/3,70/3
II)t=50/3+20lのとき
0≦50/3+20l≦36
-5/6≦l≦9/5-5/6
∴l=0
このときt=50/3
よって、△OPQは３回、正三角形になり、最後に正三角形になるのは70/3秒後です。
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