数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[9]: 三角関数２（Ｓ） / Page: 0]

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■4806 / inTopicNo.1)

　三角関数２（Ｓ）

□投稿者/ Ｓ山口軍団(138回)-(2005/10/22(Sat) 16:21:38)

難しくて、どう解いていっていいのか・・、ちょっと分かりません。（汗

次の問に答えよ。ただし、i^2=-1である。

1)x=cosφ+isinφとするとき、(1/x)を求めよ。

2)x^n=(cosφ+isinφ)^n=cosnφ+isinnφの関係を用いて
x^m+{1/(x^m)}を求めよ。

3) (1)(2)を利用して
　(2cosφ)^6=2cos6φ+12cos4φ+30cos2φ+20
　となることを証明せよ。

おねがいします。

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■4812 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数２（Ｓ）

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□投稿者/ X ベテラン(241回)-(2005/10/22(Sat) 17:57:25)

2005/10/22(Sat) 18:02:53 編集(投稿者)

1)
1/xの分母を有理化して
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1
の関係を使いましょう。
2)
条件より
x^m+1/(x^m)
=cosmφ+isinmφ+1/(cosmφ+isinmφ)
1/(x^m)の項の処理は1)と全く同じです。

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■4914 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 三角関数２（Ｓ）

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□投稿者/ Ｓ山口軍団(141回)-(2005/10/26(Wed) 09:13:55)

＞1/xの分母を有理化して
＞(cosθ)^2+(sinθ)^2=1
＞の関係を使いましょう。

有難うございました。
x=cosφ+isinφを二乗すると、x^2=cosφ^2-sinφ^2ですよね？
ここからどうやって先に進めばいいのかわかりません。

もうすこしヒントください。
おねがいします。

分母の有利化についても説明してもらえるとありがたいんですが・・（汗

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■4915 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 三角関数２（Ｓ）

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□投稿者/ X ベテラン(248回)-(2005/10/26(Wed) 09:41:41)

＞＞x=cosφ+isinφを二乗すると、x^2=cosφ^2-sinφ^2ですよね？
＞＞～
＞＞分母の有利化についても説明してもらえるとありがたいんですが・・（汗

最初の質問は恐らく分母の有理化の方法が分からないために出てきた的外れな疑問だと思いますのでスルーします。
（計算自体も間違っています。
x^2=(cosφ)^2+2isinφcosφ-(sinφ)^2
ですよ）
後、「分母の有理化」と言いましたが、ごめんなさい。敢えて言うなら「分母の実数化」といったほうがいいと思います。
で、その方法ですが、問題の式を分母の共役複素数で通分してみて下さい。

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■4965 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 三角関数２（Ｓ）

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□投稿者/ Ｓ山口軍団(142回)-(2005/10/27(Thu) 16:00:08)

あーなるほど。
＞1)x=cosφ+isinφとするとき、(1/x)を求めよ。
は分かりました！
有難うございました！

＞2)x^n=(cosφ+isinφ)^n=cosnφ+isinnφの関係を用いて
x^m+{1/(x^m)}を求めよ。
も同様にすれば解けました！

でも、ひとつきになる点があるんですが

{(cos^2)m^2}φ-(i^2){(sin^2)m^2}φ

二乗の位置がどこなのかよく複雑で分かりません。上の式が正しいのか

{(cosm^2}φ-(i^2){(sinm^2}φ

とするのか

{(cosmφ}^2-(i^2){(sinmφ}^2

が正しいのかよく分からないんですが教えてもらえないでしょうか？
おねがいします。

＞3) (1)(2)を利用して
　(2cosφ)^6=2cos6φ+12cos4φ+30cos2φ+20
　となることを証明せよ。

3番目が難しいです。
どう証明すればいいんでしょうか・・？（汗

おねがいします。

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■4966 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 三角関数２（Ｓ）

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□投稿者/ X 大御所(254回)-(2005/10/27(Thu) 16:19:39)

＞＞二乗の位置がどこなのかよく複雑で分かりません
三角比、三角関数の復習をして、指数の計算を再確認しましょう。
一般に
(cosφ)^m=cos(φ^m)
(sinφ)^m=sin(φ^m)
は成立しませんよ。
(慣れない内は括弧を付けて、どこに指数がかかっているのか確認しながら計算しましょう。)

2)ですが
＞x^n=(cosφ+isinφ)^n=cosnφ+isinnφ
により
x^m=cos(mφ)+isin(mφ)
∴
x^m+1/x^m
=cos(mφ)+isin(mφ)+1/{cos(mφ)+isin(mφ)}
=cos(mφ)+isin(mφ)+{cos(mφ)-isin(mφ)}/[{cos(mφ)}^2-{isin(mφ)}^2]
=cos(mφ)+isin(mφ)+{cos(mφ)-isin(mφ)}/[{cos(mφ)}^2-(i^2){sin(mφ)}^2]
=cos(mφ)+isin(mφ)+{cos(mφ)-isin(mφ)}/[{cos(mφ)}^2+{sin(mφ)}^2]
=cos(mφ)+isin(mφ)+{cos(mφ)-isin(mφ)}
=2cos(mφ)
となります。

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■5100 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 三角関数２（Ｓ）

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□投稿者/ Ｓ山口軍団(144回)-(2005/11/01(Tue) 23:01:46)

有難うございました！
難しいですね。でも式が丁寧だったので、分かりやすかったです。

＞3) (1)(2)を利用して
　(2cosφ)^6=2cos6φ+12cos4φ+30cos2φ+20
　となることを証明せよ。

3番目は途中でいきづまってしまいます。
参考書を見ても計算過程が飛ばし飛ばしで書いているので分かりません。
証明方法を教えてもらえないでしょうか？
x^2+(1/x^2)=Xとして式を分かりやすくするところまで分かるんですが
答えまでたどり着けません。

おねがいします。

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■5326 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 三角関数２（Ｓ）

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□投稿者/ Ｓ山口軍団(146回)-(2005/11/07(Mon) 15:59:09)

できれば誰か3番の過程を教えてください。
おねがいします。（汗

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■5335 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 三角関数２（Ｓ）

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□投稿者/ K.M. 一般人(2回)-(2005/11/08(Tue) 11:44:42)
http://www.geocities.jp/t_miyaga/

■No5326に返信(Ｓ山口さんの記事)
> できれば誰か3番の過程を教えてください。

x=cosφ+isinφ
x+1/x=2cosφ
∴ (x+1/x)^6=(2cosφ)^6
一方、２項定理で展開すると
(x+1/x)^6=x^6+C(6,1)x^5(1/x)+C(6,2)x^4(1/x^2)+C(6,3)x^3(1/x^3)
+C(6,4)x^2(1/x^4)++C(6,5)x(1/x^5)+1/x^6
=(x^6+1/x^6)+C(6,1)(x^4+1/x^4)+C(6,2)(x^2+1/x^2)+C(6,3)
=2cos6φ+6(2cos4φ)+15(2cos2φ)+20
=2cos6φ+12cos4φ+30cos2φ+20

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■5374 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 三角関数２（Ｓ）

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□投稿者/ Ｓ山口軍団(147回)-(2005/11/09(Wed) 23:50:12)

むー、なかなか難しいですね。
勉強になりました。有難うございました。

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