数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 三角関数（Ｓ） / Page: 0]

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■4805 / inTopicNo.1)

　三角関数（Ｓ）

□投稿者/ Ｓ山口軍団(137回)-(2005/10/22(Sat) 16:12:29)

二つ分からない問題が出てきましたので聞かせてもらいにきました。

1)関数:y=(sinx-1)(cosx-1)がある。

yの最大値,最小値およびそのときのxの値を求めよ。ただし、0°≦x≦360°とする。

2)二次方程式2x^2-3x+1の二つの解をtanα,tanβとするとき、
3sin^2(α+β)-5sin(α+β)cos(α+β)-2cos^2(α+β)
の値を求めよ。

ともに難しくて歯が立ちません。おねがいします。

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■4810 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数（Ｓ）

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□投稿者/ X ベテラン(239回)-(2005/10/22(Sat) 17:41:47)

1)
問題の関数を展開して、
t=sinx+cosx　(A)
と置き換えましょう。
sinxcosxは(A)の両辺を二乗して展開すればtで表すことができます。

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■4811 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 三角関数（Ｓ）

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□投稿者/ X ベテラン(240回)-(2005/10/22(Sat) 17:48:19)

2005/10/22(Sat) 18:06:53 編集(投稿者)

2)
問題の二次方程式が
2x^2-3x+1=0
であるとみて解きます。

まず、解と係数の関係より
tanα+tanβ=3/2 (A)
tanαtanβ=1/2 (B)
一方
（与式）={3sin(α+β)+cos(α+β)}{sin(α+β)-2cos(α+β)}
={{cos(α+β)}^2}{3tan(α+β)+1}{tan(α+β)-2}
後は加法定理と
1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2
を用いて(A)(B)からtan(α+β)、{cos(α+β)}^2を計算しましょう。

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■4912 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 三角関数（Ｓ）

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□投稿者/ Ｓ山口軍団(139回)-(2005/10/26(Wed) 08:59:50)

■No4810に返信(Xさんの記事)
> 1)
> 問題の関数を展開して、
> t=sinx+cosx　(A)
> と置き換えましょう。
> sinxcosxは(A)の両辺を二乗して展開すればtで表すことができます。
>

有難うございました。
最後の最後まで計算できました。

t=1のとき最小で、t=sinx+cosxだから、tに1を代入すると
xは0°と90°とわかるんですが
t=√2+(3/2)のときは、代入してもxの角度がいくつなのか分かりません。
どうやって答えを求めればいいんでしょうか？

おねがいします。

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■4913 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 三角関数（Ｓ）

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□投稿者/ Ｓ山口軍団(140回)-(2005/10/26(Wed) 09:08:34)

> 一方
> （与式）={3sin(α+β)+cos(α+β)}{sin(α+β)-2cos(α+β)}　　壱
> ={{cos(α+β)}^2}{3tan(α+β)+1}{tan(α+β)-2}　　弐

有難うございました。

壱の式になるのは分かったんですが（因数分解できたんですね、分からなかったです・・（汗
その壱の式が、弐に変形する過程が分かりません。

できれば詳しく段階的に教えてもらえないでしょうか？
おねがいします。

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■4916 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 三角関数（Ｓ）

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□投稿者/ X ベテラン(249回)-(2005/10/26(Wed) 09:48:36)

■No4913に返信(Ｓ山口さんの記事)
>
>>一方
>>（与式）={3sin(α+β)+cos(α+β)}{sin(α+β)-2cos(α+β)}　　壱
>>={{cos(α+β)}^2}{3tan(α+β)+1}{tan(α+β)-2}　　弐
>
> 有難うございました。
>
> 壱の式になるのは分かったんですが（因数分解できたんですね、分からなかったです・・（汗
> その壱の式が、弐に変形する過程が分かりません。
>
> できれば詳しく段階的に教えてもらえないでしょうか？
> おねがいします。
壱の二つの{}のいずれからもcos(α+β)をくくりだすと
壱={3sin(α+β)/cos(α+β)+1}{cos(α+β)}・{sin(α+β)/cos(α+β)-2}{cos(α+β)}
=弐
となります。
注）tanθ=sinθ/cosθ

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■4917 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 三角関数（Ｓ）

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□投稿者/ X 大御所(250回)-(2005/10/26(Wed) 09:52:17)

>>t=1のとき最小で、t=sinx+cosxだから、tに1を代入すると
>>xは0°と90°とわかるんですが
>>t=√2+(3/2)のときは、代入してもxの角度がいくつなのか分かりません。
>>どうやって答えを求めればいいんでしょうか？

tの値の範囲に注意しましょう
t=sinx+cosx
=√2sin(x+π/4)
ですから0°≦x≦360°より
-√2≦t≦√2 (A)
t=√2+(3/2)は明らかに(A)の範囲外です。

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■4921 / inTopicNo.8)

　Re[3]: 三角関数（Ｓ）

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□投稿者/ K.M. 一般人(1回)-(2005/10/26(Wed) 18:38:59)

2005/10/26(Wed) 19:40:47 編集(投稿者)

■No4912に返信(Ｓ山口さんの記事)
> t=1のとき最小で、t=sinx+cosxだから、tに1を代入すると
> xは0°と90°とわかるんですが
> t=√2+(3/2)のときは、代入してもxの角度がいくつなのか分かりません。
> どうやって答えを求めればいいんでしょうか？

横から失礼します。山口君はすこし　意味を取り違えているようです。
y= (1/2)(t-1)^2　：-√2≦t≦√2
であるから、t=-√2 のとき最大値：(1/2)(-√2-1)^2= (3/2)+√2
これは、-√2= √2 sin(x+45°)
sin(x+45)=-1 ∴ x+45= 270 ∴ x=225°のとき。

ついでに別解をひとつ。
y=(1-cos x)(1-sin x)≧0
で、最小値はx=90 or 0 のときで、最小値0。
次に、相加、相乗平均より
(1-cos x)+(1-sinx)≧2√{(1-sin x)(1-cos x)}
∴ (1-sin x)(1-cos x)≦(1/4){2-(sin x+cos x)}^2
右辺= (1/4){2-√2 sin(x+45)}^2
sin (x+45)= -1 , x+45=270 ∴x= 225°のとき最大となり
最大値= (1/4)(2+√2)^2= . . . . = (3/2)+√2

2) は同じような解ですが、
1+tan^2θ= 1/(cos^2θ) を使うので
与式= cos^2(α+β){3tan^2(α+β)-5tan(α+β)-2}
=[1/{1+tan^2(α+β)}]{3tan^2(α+β)-5tan(α+β)-2}
=(1/10)(27-17)=1

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■4967 / inTopicNo.9)

　Re[5]: 三角関数（Ｓ）

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□投稿者/ Ｓ山口軍団(143回)-(2005/10/27(Thu) 16:21:44)

K.M. 先生、X先生、有難うございました。
分かりやすかったです。

＞sin(x+45)=-1 ∴ x+45= 270 ∴ x=225°のとき。
のところは勘違いして
sin(x+45)を加法定理で分解してしまいましたが、
ふつーにsinをはずせばいい？だけみたいですね。

ありがとうございました。
勉強になりました。

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