 | (1)
Gを位数|G|=4の群
x∈G
[x]をxから生成される巡回群
とする
[x]はGの部分群だから
部分群[x]の位数|[x]|は4の約数だから
(|[x]|=1).or.(|[x]|=2).or.(|[x]|=4)
|[x]|=4となる[x]がある時
|[x]|=|G|=4だから[x]=Gとなり
Gは1元xから生成される巡回群だから
GはZ/4Zと同型である
|[x]|=4となるxが無い時
|[x]|=1の時xは単位元0だから
x≠0となるすべてのxに対して
|[x]|=2となる
G={0,a,b,c}とすると
|[a]|=|[b]|=|[c]|=2だから
a+a=b+b=c+c=0
aの逆元はaだからa+b≠0≠b+a,a+c≠0≠c+a
b≠0だからa+b≠a≠b+a,b+c≠c≠c+b
a≠0だからa+b≠b≠b+a,a+c≠c≠c+a
∴a+b=c=b+a
c≠0だからa+c≠a≠c+a,b+c≠b≠c+b
∴a+c=b=c+a
bの逆元はbだからb+c≠0=c+b
∴b+c=a=c+b
0=(0,0)
a=(1,0)
b=(0,1)
c=(1,1)
とすれば
a+a=b+b=c+c=0(mod2)
a+b=b+a=c
a+c=c+a=b(mod2)
b+c=c+b=a(mod2)
だから
GはZ/2Z×Z/2Zと同型である
(2)
{1,(1,2,3,4),(1,3)(2,4),(1,4,3,2)}
{1,(1,2,4,3),(1,4)(2,3),(1,3,4,2)}
{1,(1,3,2,4),(1,2)(3,4),(1,4,2,3)}
(3)
{1,(1,2),(3,4),(1,2)(3,4)}
{1,(1,3),(2,4),(1,3)(2,4)}
{1,(1,4),(2,3),(1,4)(2,3)}
{1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}
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