数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 数列の最大項 / Page: 0]

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■47996 / inTopicNo.1)

　数列の最大項

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□投稿者/ まるでお城一般人(1回)-(2017/05/26(Fri) 16:38:08)

aを正の数として、数列a[n]を
a[n]=(a/n)^n (n=1,2,3,...)
と定めます。
a[1],a[2],a[3],...,a[n],...
のうち最大の項はどれですか？

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■47997 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列の最大項

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□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2017/05/26(Fri) 20:09:22)

logは自然対数関数を表すものとし、自然対数の底をeとします。

xを実数として、f(x) = (a/x)^xとおいてx > 0でのf(x)の増減を調べます。
f(x) > 0ですから、log(f(x)) = x(log(a)-log(x)),
f'(x)/f(x) = log(a)-log(x)-1 = log(a/(ex)) ⇒ f'(x) = f(x)log(a/(ex))
1 < a/(ex)つまりx < a/eで、f'(x) > 0なので、f(x)は増加。
1 = a/(ex)つまりx = a/eで、f'(x) = 0なので、f(x)は極大。
0 < a/(ex) < 1つまりa/e < xで、f'(x) < 0なので、f(x)は減少。

よって、a/eに近い整数nでa[n]は最大になると考えられるので、
n = [a/e]またはn = [a/e]+1のどちらかになると思います。

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